6.1.1 向量的概念(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列说法中不正确的是(　　) A．向量∥就是直线AB平行于直线CD B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 解析　向量∥包含直线AB平行于直线CD和直线AB与直线CD重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A、B、D均错误．只有C正确．故选ABD. 答案　ABD 2．若||＝||，且＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形　　　 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 解析　由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||知平行四边形ABCD为菱形． 答案　C 3．如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且＝，则必有(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析　∵四边形ABCD中，＝，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴＝. 答案　D 4．(多选题)如图四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系一定成立的是(　　) A．||＝|| B．与共线 C．与共线 D．与共线 解析　由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知||＝||，故A正确；由题图可知，与的方向相反，故B正确；与方向相同且长度相等，即＝，故D正确；与不一定共线，故C不一定正确．故选ABD. 答案　ABD 5．给出下列各量： ①铅笔盒对桌面的压力； ②气温－10 ℃； ③高台跳水运动员在最高点的速度； ④|a|； ⑤把一条射线绕其端点顺时针旋转30°所构成的角－30°. 其中是向量的是________．(把正确选项的序号填在横线上) 解析　①压力是矢量，故也是向量；②与力相比，温度只有大小，没有方向，零上与零下只是温度高低的一种区分、表述，因此－10 ℃不是向量；③高台跳水运动员在最高点的速度大小为0，但速度本身属于矢量，故也是向量；④|a|表示向量a的长度，它是一个数值；⑤－30°的角中的负号表明了“线转成角”时的旋转方向，这与向量的方向是不同的，不是向量． 答案　①③ 6．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________． 解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°， 设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1. 在Rt△ABO中，易得||＝， 则||＝2||＝2. 答案　2 7．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)与相等的向量为________． (2)与共线的向量为________． 解析　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB綊ED. ∴C，D，E三点共线， ∴由图形可知，＝＝， 与共线向量为，，，，，，. 答案　(1)，　(2)，，，，，， 8.如图，已知ABCD是任意四边形，边AD，BC的中点分别为E，F，延长AF到G，使F恰为AG的中点，连接BG，CG，DG，AC. (1)试找出与相等的向量； (2)试找出与相等的向量； (3)试找出与共线的向量． 解析　(1)F是AG和BC的中点， 所以四边形ABGC是平行四边形， 故＝. (2)由(1)知四边形ABGC是平行四边形， 所以＝. (3)∵EF分别为AD，AG的中点， ∴EF∥DG. ∴与共线的向量，，. [关键能力·综合提升] 9.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是(　　) A.图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身) B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个(不含本身) C．的长度恰为长度的 倍 D．与不共线 解析　∵在菱形ABCD中，CB∥DA， ∴与共线，故选D. 答案　D 10．(多选题)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式不成立的是(　　) A．＝ 　　 B．＝ C．＝ 　　 D．＝ 解析　根据相等向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误；B中，与的方向不同，故B错误；C中，与的方向相反，故C错误；D中，与的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确．故选A，B，C. 答案　ABC 11．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则： (1)与相等的向量为________； (2)与共线，且模相等的向量有___________________________________. 解析　(1)由题图可知，与相等的向量有，； (2)由题图可知，与共线，且模相等的向量有，，，，. 答案　(1)，　(2)，，，， 12．有下列说法： ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②在同一平面中，若||＝||＝||≠0，则点B，C，D在以A为圆心，以||长为半径的圆上； ③在▱ABCD中，一定有＝； ④共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法是________(填序号). 解析　①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确； ②显然B，C，D到A点的距离都等于||，故②正确； ③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确； ④共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故④不正确． 答案　②③ 13．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，根据图中所标出的向量回答下列问题． (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与模相等的向量． 解析　(1)＝，＝. (2)与共线的向量有，，. (3)与模相等的向量有，，，，，，. [核心价值·探索创新] 14．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a. (1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a； (2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么． 解析　(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a同向，且长度相等，如图所示． (2)满足条件的向量c可以是图中.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图： 15．一辆消防车从A地到B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°行驶2千米才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 解析　(1)向量，，，，如图所示． (2)由题意知＝. 所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6千米”． 学科网（北京）股份有限公司 $$