5.3.2 事件之间的关系与运算(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则P(B)＝0 B．若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥 C．若事件A与B对立，则P(A∪B)＝1 D．若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥 解析　若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则A为必然事件，故B为不可能事件，则P(B)＝0，故A正确； 若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不可能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确； 若事件A与B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，故C正确； 若事件A，B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误．故选ABC. 答案　ABC 2．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都是男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝. 答案　A 3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．1 解析　记“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“从中取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中取出2粒恰好是同一色的概率为. 答案　C 4．(多选题)一枚均匀骰子，将这枚骰子向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中不正确的是(　　) A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 解析　事件A，奇数点包含的点数为1，3，5. 事件B，不超过3包含的点数为1，2，3. 则AB≠∅，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件． 又由BC＝∅，B＋C＝Ω，故B与C是对立事件，D正确，故选ABC. 答案　ABC 5．已知事件A与事件B是互斥事件，P(A∪B)＝0.8，P(B)＝0.2，则P(A∩B)＝________，P(A)＝________． 解析　由于A，B互斥，所以事件A，B不可能同 时发生，因此，P(A∩B)＝0，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.8－0.2＝0.6. 答案　0　0.6 6．同时抛掷两枚骰子，5点，6点都没有的概率为，则至少出现一个5点或6点的概率为________． 解析　设“既没有5点，也没有6点”的事件为A，“至少出现一个5点或6点”的事件为B，则A与B是对立事件．所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝. 答案　 7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数和是2，3，4，…，11，12中的一个，事件A＝{2，5，7}，事件B＝{2，4，6，8，10，12}，那么A＋B＝________，A＝________． 解析　∵事件A＝{2，5，7}， 事件B＝{2，4，6，8，10，12}， ∴A＋B＝{2，4，5，6，7，8，10，12}， ＝{3，5，7，9，11}，∴A＝{5，7}． 答案　{2，4，5，6，7，8，10，12}　{5，7} 8．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“只订乙报”，事件C为“至少订一种报纸”，事件D为“至多订一种报纸”，事件E为“一种报纸也没订”，事件F为“两种报纸都订”．根据上述事件回答下列问题： (1)请列举出包含关系的事件； (2)用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件； (3)从上述事件中找出几对互斥事件和对立事件． 解析　(1)由题意可知，A发生，C一定发生，即A⊆C.同理，B⊆C，F⊆C，A⊆D，B⊆D，E⊆D. (2)由题意及事件的相互关系可知，C＝A＋B＋F，D＝A＋B＋E，全集Ω＝A＋F＋B＋E. (3)由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是(　　) A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B．(A1∪A2)∪A3是必然事件 C.P(A2∪A3)＝0.8 D．P(A1∪A2)≤0.5 解析　事件A1，A2，A3不一定两两互斥，所以P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)≤0.5，P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3)≤0.8，P[(A1∪A2)∪A3]≤1，所以(A1∪A2)∪A3不一定是必然事件，无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件，所以A、B、C说法错误．故选ABC. 答案　ABC 10．甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为(　　) A．60% B．50% C．40% D．30% 解析　设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A，C互斥，且B＝A＋C，则P＝P＝P＋P， 所以P＝P－P＝40%，乙获胜的概率为10%， 则乙不输的概率为50%＋10%＝60%. 答案　A 11．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是________． 解析　由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9. 答案　[0，0.9] 12．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表： 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．则： (1)任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是__________； (2)任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是__________． 解析　任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，①“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据概率的加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64；③B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37. 答案　(1)0.64　(2)0.37 13．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘何种交通工具去？ 解析　(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥，故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7，即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P， 则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8. (3)由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，1－(0.3＋0.2)＝0.5，1－(0.4＋0.1)＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． [核心价值·探索创新] 14．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________． 解析　由P1满足方程x2－x＋＝0知，P－P1＋＝0，解得P1＝.因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，所以P2＝，因此甲射击一次，不中靶的概率为1－＝， 乙射击一次，不中靶的概率为1－＝. 答案　　 15．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2020年后出版的书”．问： (1)AB表示什么事件？ (2)在什么条件下有ABC＝A? (3)⊆B表示什么意思？ (4)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？ 解析　(1)AB表示事件“2020年或2020年前出版的中文版的数学书”． (2)在“图书室中所有数学书都是2020年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A. (3)⊆B表示2020年或2020年前出版的书全是中文版的． (4)是．＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时＝B又可等价成＝A，因而也可解释为：图书室中所有的数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书． 学科网（北京）股份有限公司 $$