5.1.3 第2课时 频数分布直方图与频率分布直方图(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知样本7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据落在8.5～11.5的频率为(　　) A．0.5　　　　　　　 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析　样本数据落在范围8.5～11.5内的数据有10，11，10，10，10，11，9，9共8个，频率为8÷20＝0.4. 答案　B 2．为了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了n名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间(单位：小时)在[10，50]内，其中锻炼时间在[30，50]内的学生有134人，频率分布直方图如图所示，则n＝(　　) A．150 B．160 C．180 D．200 解析　由频率分布直方图得锻炼时间在[30，50]对应的频率为1－(0.010＋0.023)×10＝0.670，所以n＝＝200. 答案　D 3．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……、第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．18 解析　由题意知第一组和第二组的频率之和为0.24＋0.16＝0.4，故样本容量为＝50，又第三组的频率为0.36， 故第三组的人数为50×0.36＝18，故该组中有疗效的人数为18－6＝12. 答案　C 4．某小区抽取了200个用户的月平均用电量(单位：千瓦时)，绘制了频率分布直方图如图所示(每组区间包含左端点，不包含右端点)，则样本中月平均用电量在[220，260)的用户数为(　　) A．80 B．60 C．50 D．30 解析　由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5， ∴月平均用电量在[220，260)的用户数为200×20×(0.012 5＋0.007 5)＝80.故选A. 答案　A 5．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________． 解析　设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝，所以前三组数据的频率分别是，，，故前三组数据的频数之和为＋＋＝27，解得n＝60. 答案　60 6．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值).现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取________人． 解析　月收入在[1 500，2 000)的频率为1－(0.000 2＋0.000 5×2＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人). 答案　40 7．某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70 km/h，否则视为违规扣分．某天有1 000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图(如图所示)，则违规扣分的汽车大约为________辆． 解析　易求得70～80这组的频率为1－0.05－0.18－0.38－0.27＝0.12，则违规扣分的汽车大约为0.12×1 000＝120(辆). 答案　120 8．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图： 分组 频数 频率 一组 0≤t＜5 0 0 二组 5≤t＜10 10 0.10 三组 10≤t＜15 10 ② 四组 15≤t＜20 ① 0.50 五组 20≤t≤25 30 0.30 合计 100 1.00 解答下列问题： (1)这次抽样的样本容量是多少？ (2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图； (3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？ 解析　(1)样本容量是100. (2)①50　②0.10　所补频率分布直方图如图中的阴影部分： (3)设旅客平均购票用时为t min，则有 ≤t＜， 即15≤t＜20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组． [关键能力·综合提升] 9．某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图(如图所示).已知从左至右4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数)(　　) A．18篇 B．24篇 C．25篇 D．27篇 解析　分数大于或等于80的频率为1－0.05－0.15－0.35＝0.45，故优秀的调查报告有0.45×60＝27. 答案　D 10．(多选题)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150].得到频率分布直方图如图所示．若不低于140分的人数为110，则以下说法正确的是(　　) A．m＝0.031 B．n＝800 C．100分以下的人数为60 D．分数在区间[120，140)的人数占大半 解析　根据频率分布直方图的性质得 10(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m＝0.031，故A正确； 因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝＝1 000，故B错误； 由100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1 000×0.06＝60，故C正确； 分数在区间为[120，140)的人数占0.031×10＋0.016×10＝0.47，占小半，故D错误． 答案　AC 11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 s与19 s之间．将测试结果按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于13 s且小于14 s；第二组，成绩大于等于14 s且小于15 s；……；第六组，成绩大于等于18 s且小于等于19 s．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17 s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15 s且小于17 s的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为________． 解析　从频率分布直方图可以得到，成绩小于17 s的学生的频率，也就是成绩小于17 s的学生所占的百分比，即0.02＋0.18＋0.34＋0.36＝0.9；成绩大于等于15 s且小于17 s的学生的人数为(0.34＋0.36)×50＝35. 答案　0.9，35 12．某电子商务公司对10 000名网络购物者2023年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的a＝__________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为__________． 解析　(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3. (2) 区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6. 因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案　(1)3　(2)6 000 13．某市2024年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45. (1)完成频率分布表； (2)作出频率分布直方图； (3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染． 请你根据所给数据和上述标准，对该市4月份的空气质量给出一个简短评价． 解析　(1)频率分布表： 分组 频数 频率 [41，51) 2 [51，61) 1 [61，71) 4 [71，81) 6 [81，91) 10 [91，101) 5 [101，111) 2 合计 30 1 (2)频率分布直方图如图所示． (3)答对下述两条中的一条即可： ①该市4月份中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的，说明该市4月份空气质量基本良好． ②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的，超过50%；说明该市4月份空气质量不好． [核心价值·探索创新] 14．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　) A．64 B．54 C．48 D．27 解析　前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54. 答案　B 15．某调查机构为了解本市市民对地铁的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低分到高分为四个等级． 满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 已知样本中满意度等级为基本满意的有680人． (1)求频率分布直方图中a的值及满意度等级为不满意的人数． (2)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由． 解析　(1)由频率分布直方图知，0.035＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002＝0.075，由10×(0.075＋a)＝1，解得a＝0.025. 设总共调查了N个人，则满意度等级为基本满意的人数为N×10×(0.014＋0.020)＝680，解得N＝2 000. 满意度等级为不满意的频率为10×(0.002＋0.004)＝0.06，所以共有2 000×0.06＝120(人)，即满意度等级为不满意的人数为120. (2)所选样本满意程度的平均分为45×0.02＋55×0.04＋65×0.14＋75×0.2＋85×0.35＋95×0.25＝80.7， 估计市民满意程度的平均分为80.7， 所以市民满意指数为＝0.807＞0.8，故该项目能通过验收． 学科网（北京）股份有限公司 $$