4.6 函数的应用(二)(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示． 时间 1 2 3 4 利润/千元 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　) A．y＝log2x 　　　　　 B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x 解析　把x＝1，2，3，4代入，只有y＝2x的值最接近表格中的对应值． 答案　B 2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是(　　) A．增加7.84% B．减少7.84% C．减少9.5% D．不增不减 解析　设该商品原价为a，四年后价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.921 6a，所以(1－0.921 6)a＝0.078 4a＝7.84%a，即比原来减少了7.84%. 答案　B 3．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 答案　C 4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 解析　设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x＞200，即1.12x＞⇒x＞＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年． 答案　D 5．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5个小时，1个病毒能繁殖为________个． 解析　由题意知当t＝时，y＝2，∴2＝ek，即ek＝4，∴k＝ln 4＝2ln 2，∴y＝4t. ∴当t＝5时，y＝45＝1 024. 答案　2ln 2　1 024 6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，设放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为________天． 解析　由已知得a＝a·e－50k，∴e－k＝. 设经过t1天后，一个新丸体积变为a， 答案　75 7．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解析　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0， 代入函数关系式可得0＝5 log2，解得Q＝10， 即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得v＝5 log2＝5 log28＝15(m/s)， 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. [关键能力·综合提升] 8．我国高铁技术在世界上遥遥领先，高铁运行时不仅速度比普通列车快，而且噪声小．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30～40分贝(符号：dB)，声强I(单位：W/m2)与声强级L(单位：dB)的函数关系式为I＝b·10aL(a，b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10－5.2W/m2，声强级为68 dB，驶进市区附近降低速度后的声强为10－6.5W/m2，声强级为55 dB，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为(　　) A．10－9W/m2 B．10－8W/m2 C．10－7W/m2 D．10－6W/m2 解析　由题意可知 解得a＝0.1，b＝10－12，所以I＝10－12·100.1L＝100.1L－12， 所以当L取最大值40时，I取得最大值100.1×40－12＝10－8W/m2. 答案　B 9．(多选题)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6 B．9 C．8 D．7 解析　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，由n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4，所以选B，C. 答案　BC 10．某工厂生产的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝________毫克/升． 解析　因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升). 答案　150ln 2 11．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算) 解析　由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时， y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2. 所以 ②－①，得0.2＝a lg ，0.2＝a lg 2. 所以a＝＝＝. 答案　 12．某种蔬菜从2024年4月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：10天)的数据如下表： 时间t 5 11 25 种植成本Q 15 10.8 15 (1)根据上表数据，从下列函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt(其中a≠0)中，选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系； (2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本． 解析　(1)根据点的分布特征知函数模型Q＝at2＋bt＋c(a≠0)与题表所提供的数据拟合得最好， 所以选取函数模型Q＝at2＋bt＋c(a≠0)描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系． 将题表中所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c， 得解得 所以描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋. (2)由(1)知Q＝t2－t＋＝(t－15)2＋10，所以当t＝15时，Q的最小值为10，即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低，最低种植成本为10元/10 kg. [核心价值·探索创新] 13．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)________． ①y＝0.025x；②y＝1.003x；③y＝1＋log7x；④y＝x2. 解析　由题意知，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1 000]时， (ⅰ)函数为增函数； (ⅱ)函数的最大值不超过5； (ⅲ)y≤x·25%＝x， ①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求； ②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求； ③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋log71 000＝1＋＜5，且1＋log7x≤x恒成立，故满足公司要求； ④中，函数y＝x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y＞5不满足公司要求． 答案　③ 学科网（北京）股份有限公司 $$