4.5 增长速度的比较(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．下图是红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　) A．指数函数：y＝2t　　 B．对数函数：y＝log2 t C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2 解析　由散点图可知，与指数函数拟合最贴切． 答案　A 2．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　) A．2x＞x＞lg x B．2x＞lg x＞x C．x＞2x＞lg x D．lg x＞x＞2x 解析　结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x＞x＞lg x. 答案　A 3．(多选题)若函数f(x)＝x2由x＝1至x＝1＋Δx的平均变化率的取值范围是(1.975，2.025)，则增量Δx的取值可以为(　　) A．－0.1 B．0.001 C．0.01 D．0.1 解析　函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的增量 Δf＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx＋1)2－12＝Δx2＋2Δx， ∴f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝Δx＋2. ∵Δx＋2∈(1.975，2.025)， ∴Δx∈(－0.025，0.025)，故选BC. 答案　BC 4．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体对应的函数关系是(　　) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 解析　由增长速率可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D. 答案　D 5．函数f(x)＝－3x＋9，g(x)＝在[1，2]上的平均变化率分别为________． 解析　＝－3，＝－. 答案　－3　－ 6．已知f(x)＝3x＋2在任意区间上的平均变化率为____________，当自变量每增加1个单位时，函数值增加__________个单位． 解析　设区间[a，a＋1]，则＝＝3， 当自变量每增加1个单位时，函数值增加3个单位． 答案　3　3 7．若函数f(x)在任意区间内的平均变化率比g(x)＝1在同一区间内的平均变化率大，则函数f(x)可以为________． 答案　f(x)＝x(答案不唯一) 8．比较函数f(x)＝4x，g(x)＝x＋1在区间[a－1，a](a＜0)上的平均变化率的相对大小． 解析　因为＝＝4a－1(4－1)＝3×4a－1， ＝＝，又a＜0， 所以＝3×4a－1＜3×40－1＝3×4－1＝，所以函数f(x)在区间[a－1，a]上的平均变化率比g(x)的小． [关键能力·综合提升] 9.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有(　　) 解析　由题图知，当t＝6时，C(t)＝0，故C不正确；当t＝12时，C(t)＝10，故D不正确；在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃，故B不正确． 答案　BCD 10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是(　　) 解析　即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A，D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A、D)，故选C. 答案　C 11．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析　当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长得要快． 答案　y＝x2 12．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示． 以下四种说法： ①前三年中，产量增长的速度越来越快； ②前三年中，产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变． 其中说法正确的序号是________． 解析　由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xa(0<a<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确． 答案　②③ 13．已知函数f(x)的定义域为R，分别判断下列条件下f(x)的单调性： (1)f(x)在任意区间内的平均变化率均为正数； (2)f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝2在同一区间内的平均变化率小． 解析　(1)f(x)是增函数，理由如下：取x1，x2∈R且x1＜x2，则x2－x1＞0， 由题意知f(x)在任意区间[x1，x2]内的平均变化率＝＞0.所以f(x2)－f(x1)＞0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是增函数． (2)f(x)是减函数，理由如下：取任意区间[x1，x2]，则f(x)在该区间上的平均变化率为＝，g(x)＝2在该区间上的平均变化率为＝＝＝0.由题意＜0. 因为x1＜x2，所以x2－x1＞0, 所以f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是减函数． [核心价值·探索创新] 14．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： x(月份) 2 3 4 5 6 … y(元) 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 小明选择了模型y＝x，他的同学却认为模型y＝更合适？ (1)试问用哪个函数模型更合适； (2)大约在几月份小学生零花钱超过100元？ 解析　(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并结合y＝x及y＝的图象(如图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝的图象上或附近，因此用y＝这一模型更符合． (2)当＝100时，2x＝300. 则x＝log2300＝＝≈8.230.∴x＝9. ∴大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元． 15．甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款，捐款方式如下： 甲公司：在10天内，每天捐款5万元给灾区；乙公司：在10天内，第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元；丙公司：在10天内，第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番． 你觉得哪个公司最慷慨？ 解析　三个公司在10天内捐款情况如下表所示． 甲 乙 丙 第1天 5 1 0.1 第2天 5 2 0.2 第3天 5 3 0.4 第4天 5 4 0.8 第5天 5 5 1.6 第6天 5 6 3.2 第7天 5 7 6.4 第8天 5 8 12.8 第9天 5 9 25.6 第10天 5 10 51.2 总计 50 55 102.3 由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司最慷慨． 学科网（北京）股份有限公司 $$