4.4 幂函数(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．下列命题： ①幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n＝0，函数y＝xn的图象是一条直线； ④幂函数y＝xn，当n＞0时，是增函数； ⑤幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 正确的命题为(　　) A．①④　　　　　　　 B．④⑤ C．②③ D．②⑤ 解析　y＝x－1不过点(0，0)，∴①错误，排除A；当n＝0时，y＝xn的图象为两条射线，③错误，排除C；y＝x2不是增函数，④错误，排除B；因此答案选D. 答案　D 2．设a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　构造幂函数y＝x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递增，知b＜a；构造指数函数y＝，由该函数在定义域内单调递减，知a＜c，故b＜a＜c. 答案　D 3．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论中正确的是(　　) A．－1＜n＜0，0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1 C.－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 解析　由题图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，所以m＞0，n＜0.又当x＞1时，y＝xm的图象在y＝x的图象的下方，y＝xn的图象在y＝x－1的图象的下方，所以m＜1，n＜－1，从而得0＜m＜1，n＜－1.故只有B正确． 答案　B 4．(多选题)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析　当α＝－1时，y＝x－1＝，为奇函数，但值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足条件； 当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件； 当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为[0，＋∞)，不满足条件； 当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R满足条件．故选BD. 答案　BD 5．函数y＝x的定义域是________，值域是________． 解析　y＝x＝的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞). 答案　(0，＋∞)　(0，＋∞) 6．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调增区间是________． 解析　由题意得9＝3α， 所以32＝3α，∴α＝2，所以f(x)＝x2. 所以二次函数f(x)＝x2的单调增区间是[0，＋∞). 答案　[0，＋∞) 7．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)＋f(a－1)≤0的实数a的取值范围是________． 解析　由题意，不妨设f(x)＝xα，因为幂函数f(x)过点(2，8)，则f(2)＝2α＝8，解得α＝3，故f(x)＝x3为定义在R上的奇函数，且f(x)为增函数，因为f(a－3)＋f(a－1)≤0，则f(a－3)≤－f(a－1)＝f(1－a)，故a－3≤1－a，解得a≤2，从而实数a的取值范围是(－∞，2]. 答案　(－∞，2] 8．若点A(，2)在幂函数f(x)的图象上，B在幂函数g(x)的图象上， (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x). 解析　(1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()a＝2，所以a＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xb，因为点B在幂函数g(x)的图象上，所以(－2)b＝，所以b＝－2，即g(x)＝x－2. (2)令f(x)＝g(x)，解得x＝±1. 在同一坐标系下画出函数f(x)和g(x)的图象，如图：由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(1，1)和(－1，1). 所以①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； ②x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). [关键能力·综合提升] 9．设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 又因为y＝x3在(0，＋∞)单调递增， 所以y＝－在(0，＋∞)也单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)单调递增． 答案　A 10．(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论正确的有(　　) A．x1f(x1)＞x2f(x2) B．x1f(x1)＜x2f(x2) C．＞ D．＜ 解析　设函数f(x)＝xα，由点在函数图象上得＝，解得α＝.故f(x)＝x，故g(x)＝xf(x)＝x为(0，＋∞)上的增函数，故A错误，B正确；而h(x)＝＝x为(0，＋∞)上的减函数，故C正确，D错误．故选BC. 答案　BC 11．若f(x)＝x－x，则满足f(x)＜0的x的取值范围是________． 解析　若f(x)＝x－x，满足f(x)＜0， 则x＜x，∴x＜1. ∵y＝x是增函数，∴x＜1的解集为(0，1). 答案　(0，1) 12．若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________． 解析　当a＞1时，有a2＝4，a－1＝m， 此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意． 若0＜a＜1，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意． 答案　 13．已知幂函数为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (1)求函数f(x)； (2)讨论F(x)＝a－的奇偶性． 解析　(1)∵f(x)是偶函数，∴m2－2m－3应为偶数． 又f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数，∴m2－2m－3＜0.∴－1＜m＜3. 又m∈Z，∴m＝0，1，2.当m＝0或2时，m2－2m－3＝－3不是偶数，舍去； 当m＝1时，m2－2m－3＝－4. ∴m＝1，即f(x)＝x－4. (2)F(x)＝－bx3，∴F(－x)＝＋bx3. ①当a≠0，b≠0时，F(x)为非奇非偶函数； ②当a＝0，b≠0时，F(x)为奇函数； ③当a≠0，b＝0时，F(x)为偶函数； ④当a＝0，b＝0时，F(x)既是奇函数，又是偶函数． [核心价值·探索创新] 14．若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＜0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个函数中： ①f(x)＝；②f(x)＝x2；③f(x)＝；④f(x)＝则被称为“理想函数”的有________(填相应的序号). 解析　若f(x)是“理想函数”，则满足以下两条： (1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数； (2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＜0，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，所以x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)，即函数f(x)是减函数，故f(x)为定义域上的单调递减的奇函数． ①f(x)＝在定义域上是奇函数，但不是单调减函数，所以不是“理想函数”； ②f(x)＝x2在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”； ③f(x)＝不是奇函数，所以不是“理想函数”； ④f(x)＝在定义域R上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 答案　④ 15．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若a＞k，比较(ln a)0.7与(ln a)0.6的大小． 解析　(1)因为幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以k2－2k－3＜0，解得－1＜k＜3. 因为k∈N*，所以k＝1，2. 又因为幂函数的图象关于y轴对称， 所以k＝1，函数的解析式为f(x)＝x－4. (2)由(1)知，a＞1. 当1＜a＜e时，0＜ln a＜1，(ln a)0.7＜(ln a)0.6； 当a＝e时，ln a＝1，(ln a)0.7＝(ln a)0.6； 当a＞e时，ln a＞1，(ln a)0.7＞(ln a)0.6. 故当1＜a＜e时，(ln a)0.7＜(ln a)0.6； 当a＝e时，(ln a)0.7＝(ln a)0.6； 当a＞e时，(ln a)0.7＞(ln a)0.6. 学科网（北京）股份有限公司 $$