4.3 指数函数与对数函数的关系(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x　　　　　　 B． C．logx D．2x－2 解析　依题意y＝ax过点(1，2)， ∴a＝2，即f(x)＝log2x，故选A. 答案　A 2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝－loga x的图象是图中的(　　) 解析　∵y＝的反函数为y＝logx＝－logax. 又a＞1，故它们的图象关于y＝x对称且都是减函数， 故选D. 答案　D 3．若函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝ln ＋1，则f(2)的值等于(　　) A．1 B．e C．1＋ln D．e2 解析　∵f－1(e2)＝ln ＋1＝2，∴f(2)＝e2，故选D. 答案　D 4．(多选题)已知函数f(x)在其定义域内单调递增，且f(1)＝－1，若f(x)的反函数为f－1(x)，则(　　) A．f－1(－1)＝1 B．f－1(x)在定义域内单调递增 C．f－1(1)＝1 D．f－1(x)在定义域内单调递减 解析　由反函数的性质可知，f－1(－1)＝1，且f－1(x)在定义域内单调递增． 答案　AB 5．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lg x(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝________． 解析　∵y＝g(x)＝1＋2lg x(x＞0)， ∴lg x＝(y－1)，x＝10， ∴y＝g(x)的反函数为y＝f(x)＝10， ∴f(1)＋g(1)＝100＋(1＋2lg 1)＝2. 答案　2 6．函数f(x)＝的反函数是________． 解析　函数的值域为[0，＋∞)，令y＝， 将其中的x，y对调得x＝，解得y＝4－x2， 所以反函数f－1(x)＝4－x2(x≥0). 答案　f－1(x)＝4－x2(x≥0) 7．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a的值为________，b的值为________． 解析　由y＝ax＋2对调x和y，解得y＝x－，依题意得即. 答案　　－6 8．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1). (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f－1(x)； (3)判断f－1(x)的单调性． 解析　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)由y＝loga(2－x)对调x和y得，2－y＝ax，即y＝2－ax. ∴f－1(x)＝2－ax(x∈R). (3)f－1(x)在R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2， ∴f－1(x2)＜f－1(x1)， ∴y＝f－1(x)在R上是减函数． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)函数y＝f(x)是y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(x2)＝2f(|x|) B．f(2x)＝f(x)＋f(2) C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x) 解析　因为函数y＝f(x)是y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，所以f(x)＝logax， 所以f(2x)＝loga2x＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)≠2f(x)，B正确D错误；f(x2)＝logax2＝2loga|x|＝2f(|x|)，A正确；f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，C正确． 答案　ABC 10．(多选题)设函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．f(x)＝ln (2x＋3) D．y＝2x＋3 解析　因为若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以只需f(x)的值域关于原点对称． A中函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合； B中函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合； C中函数f(x)＝ln (2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合； D中函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合． 答案　BCD 11．若函数f(x)＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则f(x)的定义域为________，f－1(4)＝________． 解析　因为反函数的定义域为(3，＋∞)，所以f(x)＝log2x＋2的值域为(3，＋∞)，所以log2x＋2＞3，所以x＞2，所以f(x)的定义域为(2，＋∞)，又x＝log2y＋2，所以y＝f－1(x)＝2x－2(x∈(3，＋∞))，所以f－1(4)＝24－2＝4. 答案　(2，＋∞)　4 12．已知函数f(x)＝的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0. 其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析　g(x)＝logx， ∴h(x)＝log(1－|x|)(－1＜x＜1)， ∴h(x)是偶函数，②正确，①错误． ∵0＜1－|x|≤1，∴h(x)min≥0， 故③正确． 答案　②③ 13．(一题多解)设f(x)＝lg ，如果当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围． 解析　解法一　由题意知当x∈(－∞，1]时， f(x)＝lg 有意义， 说明在x∈(－∞，1]时，1＋2x＋4xa＞0恒成立， 即＋＋a的最小值大于0. 设t＝，则t≥. 又设g(t)＝t2＋t＋a，其图象的对称轴为直线t＝－， 所以g(t)＝t2＋t＋a在上的最小值在t＝处取得， 即g＝＋＋a＞0， 解得a＞－. 所以a的取值范围为. 解法二　(分离参数法) 由题意，知a·4x＋2x＋1＞0， 即a＞－＝－－. 当x∈(－∞，1]时，a·4x＋2x＋1＞0恒成立， 所以需要a大于－－的最大值， 令u(x)＝－－， 因为u(x)＝－－为增函数， 所以a＞u(1)＝－－＝－成立． 故a的取值范围为. [核心价值·探索创新] 14．将函数y＝2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y＝x的对称图象C3，则C3的解析式为________． 解析　将函数y＝2x的图象向左平移一个单位，得到函数y＝2x＋1的图象，再将y＝2x＋1的图象向上平移一个单位得到图象对应的解析式为y＝2x＋1＋1，作出y＝2x＋1＋1关于直线y＝x对称的图象，它是y＝2x＋1＋1的反函数的图象，由反函数的定义知，C3的解析式为y＝log2(x－1)－1. 答案　y＝log2(x－1)－1 15．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值． 解析　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3. 如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标， b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标． 由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数， 所以它们的图象关于直线y＝x对称， 由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称， 于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a). 而A，B都在直线y＝－x＋3上， 所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$