4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　) A．　　　　　　　 B．(0，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析　f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞). 答案　D 2．已知函数f(x)＝log2(3x－1)，则使得2f(x)＞f(x＋2)成立的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　不等式2f(x)＞f(x＋2)等价于2log2(3x－1)＞log2(3x＋5)，等价于log2(3x－1)2＞log2(3x＋5)，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以解得x＞. 答案　B 3．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 B．0　　 C．　　 D．1 解析　∵f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0， 当a＝0时，f(x)＝x ln ，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－， 则其定义域为，关于原点对称． f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln －1＝x ln ＝f(x)， 故此时f(x)为偶函数．故选B. 答案　B 4．(多选题)关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列结论，其中正确的是(　　) A.其图象关于y轴对称 B．f(x)的最小值是lg 2 C．当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)是减函数 D．f(x)的增区间是(－1，0)，(1，＋∞) 解析　函数f(x)＝lg (x≠0)，是偶函数， 所以A正确； 函数f(x)＝lg ＝lg ≥lg ＝lg 2， 当且仅当|x|＝，即x＝±1时，取得最小值，所以B正确； 函数的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞). 所以C不正确，D正确． 答案　ABD 5．不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为________． 解析　原不等式等价于 解得<x<3，所以原不等式的解集为. 答案　 6．已知函数f(x)＝则f(0)＝____________，f(x)的值域为________． 解析　f(0)＝20＝1. 当x＜1时，f(x)＝2x∈(0，2)； 当x≥1时，f(x)＝－log2x≤0，所以f(x)的值域为(－∞，2). 答案　1　(－∞，2) 7．若0＜loga2＜1(a＞0，且a≠1)，则a的取值范围是____________. 解析　由loga2＞0知a＞1， 故函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数． 所以由loga2＜1＝logaa知a＞2， 故a的取值范围是(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 8．已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且f(3)－f(2)＝1. (1)若f(3m－2)<f(2m＋5)，求实数m的取值范围； (2)求使f＝log成立的x的值． 解析　因为f(3)－f(2)＝1， 所以a＝，所以f(x)＝logx. (1)因为>1，所以由f(3m－2)<f(2m＋5)得 所以<m<7. (2)由f＝log， 即log＝log， 所以x－＝.所以x＝－或x＝4. [关键能力·综合提升] 9．已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析　a＝log52＜log5＝＝log82＜log83＝b，即a＜c＜b. 答案　C 10．(多选题)已知函数f(x)＝－log2x，下列四个说法正确的是(　　) A．函数f(|x|)为偶函数 B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a＜1＜b，则ab＝1 C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数 D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)| 解析　函数f(x)＝－log2x，对于A，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故A正确； 对于B，若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a＜1＜b，所以f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得到ab＝1，故B正确； 对于C，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故C错误； 对于D，因为0＜a＜1，所以1＋a＞1＞1－a＞0，0＜1－a2＜1，所以log2(1＋a)＞0＞log2(1－a)， 故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝|－log2(1＋a)|－|－log2(1－a)|＝log2(1＋a)＋log2(1－a)＝log2(1－a2)＜0，故D正确． 答案　ABD 11．设a＝log2，b＝log23，c＝，则a，b，c从小到大的顺序是________． 解析　因为a＝log2＜log1＝0， b＝log23＞log22＝1，0＜c＝＜＝1， 所以a＜c＜b. 答案　a＜c＜b 12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________． 解析　∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示． 由f＝0，得f＝0. ∴f(logx)＞0⇒logx＜－或logx＞⇒x＞2或0＜x＜， ∴x∈∪(2，＋∞). 答案　∪(2，＋∞) 13．已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1). (1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断并证明f(x)的单调性． 解析　(1)由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1. 故f(x)的定义域为(－∞，1). 由0<a－ax<a，可知loga(a－ax)<logaa＝1. 故函数f(x)的值域为(－∞，1). (2)f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 任取1>x1>x2，又a>1， ∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2， ∴loga(a－ax1)<loga(a－ax2)， 即f(x1)<f(x2)， 故f(x)在(－∞，1)上为减函数． [核心价值·探索创新] 14．(一题多解)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) 解析　解法一　构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤时，4x＜logax，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可．当a＞1时不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知只需f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为. 解法二　因为0＜x≤，所以1＜4x≤2，所以logax＞4x＞1，所以0＜a＜1，排除C、D；取a＝，x＝，则4＝2，log＝1，显然4x＜logax不成立，排除A，故选B. 答案　B 15．已知函数f(x)＝ax－1(a＞0且a≠1). (1)若函数y＝f(x)的图象经过点P(3，4)，求a的值； (2)若f(lg a)＝100，求a的值； (3)比较f与f(－2.1)的大小，并写出比较过程． 解析　(1)因为函数y＝f(x)的图象经过P(3，4)， 所以a3－1＝4，即a2＝4. 又a＞0，所以a＝2. (2)由f(lg a)＝100知，alg a－1＝100. ∴lg alg a－1＝2(或lg a－1＝loga 100). ∴(lg a－1)·lg a＝2. ∴(lg a)2－lg a－2＝0， ∴lg a＝－1或lg a＝2， ∴a＝或a＝100. (3)∵f＝f(－2)＝a－3，f(－2.1)＝a－3.1， 当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵－3＞－3.1，∴a－3＞a－3.1， 即f＞f(－2.1)； 当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3＞－3.1，∴a－3＜a－3.1， 即f＜f(－2.1). 学科网（北京）股份有限公司 $$