4.2.3 第1课时 对数函数的概念、对数函数的性质与图象(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝loga(2x)　　　　 B．y＝logx C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x 解析　由对数函数的定义：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，则函数为对数函数，只有B、D符合． 答案　BD 2．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2. 答案　C 3．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是(　　) 解析　f(x)＝2|log2x|＝ 答案　C 4．(多选题)函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象一定过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的大致图象如图所示，所以一定过第二、三、四象限．故选BCD. 答案　BCD 5．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝________． 解析　因为M＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}， N＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}． 所以M∩N＝{x|1≤x＜2}＝[1，2)， 所以∁R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞). 答案　(－∞，1)∪[2，＋∞) 6．函数f(x)＝loga(3x－2)＋2(a＞0，a≠1)恒过定点________. 解析　f(x)＝loga(3x－2)＋2， 因为f(1)＝loga1＋2＝2， 所以f(x)恒过(1，2)点． 答案　(1，2) 7．已知函数f(x)＝则f的值是________． 解析　由于f＝log2＝－2， 所以f＝f(－2)＝3－2＝. 答案　 8．已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)， (1)求a的值； (2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域． 解析　(1)由已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)，则2＝loga4，所以a2＝4. 因为a＞0且a≠1，所以a＝2. (2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x) 由得－1＜x＜1 所以g(x)的定义域为(－1，1). [关键能力·综合提升] 9．若点(a，b)在y＝log2x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(　　) A．　　　　　　 B．(2a，1－b) C． D．(a2，2b) 解析　若点(a，b)在y＝log2x的图象上，则b＝log2a，所以2b＝2log2a＝log2a2，即(a2，2b)也在函数y＝log2x的图象上． 答案　D 10．(多选题)已知0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是(　　) A．log2a＜0 B．2a－b＜ C．2＜4 D．log2a＋log2b＜－2 解析　A．∵0＜a＜b，a＋b＝1， ∴0＜a＜，＜b＜1， ∴log2a＜log2＝－1，故A正确； B．∵0＜a＜b，∴a－b＜0，∴2a－b＜20＝1，故B不正确； C．∵0＜a＜b，∴2＞22＝4，故C不正确； D．∵0＜a＜b，a＋b＝1，∴1＝a＋b＞2， ∴ab＜，∴log2a＋log2b＜log2＝－2，故D正确． 答案　AD 11．已知函数f(x)＝若f(m)＝，则m＝________. 解析　由题意，得或 所以m＝或m＝－lg 2. 答案　或－lg 2 12．已知实数a，b满足loga＝logb，则给出下面五种关系： ①0＜a＜b＜1；②0＜b＜a＜1；③1＜b＜a；④1＜a＜b；⑤a＝b＝1. 其中可能成立的序号为________． 解析　由题意得，令y1＝loga，y2＝logb，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，如图所示．若y1＝y2＞0，即loga＝logb＞0，则0＜b＜a＜1；若y1＝y2＜0，即loga＝logb＜0，则1＜a＜b；若y1＝y2＝0，即loga＝logb＝0，则a＝b＝1.故②④⑤成立． 答案　②④⑤ 13．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a＞0，且a≠1). (1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域； (2)求使函数y＝f(x)－g(x)的值为负数的x的取值范围． 解析　(1)由题意可知， y＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)， 由解得所以－1＜x＜2， 所以函数y＝f(x)－g(x)的定义域是(－1，2). (2)由f(x)－g(x)＜0，得f(x)＜g(x)， 即loga(x＋1)＜loga(4－2x)，① 当a＞1时，由①可得0＜x＋1＜4－2x， 解得－1＜x＜1； 当0＜a＜1时，由①可得x＋1＞4－2x＞0， 解得1＜x＜2； 综上所述：当a＞1时，x的取值范围是(－1，1)； 当0＜a＜1时，x的取值范围是(1，2). [核心价值·探索创新] 14.如图，已知函数f(x)的图象为折线ACB(含端点A，B)，其中A(－4，0)，B(4，0)，C(0，4)，则不等式f(x)＞log2(x＋2)的解集是____________． 解析　在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log2(x＋2)的图象，易知当x＝2时，f(x)＝log2(x＋2)＝2，所以不等式f(x)＞log2(x＋2)的解集是(－2，2). 答案　(－2，2) 15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回出生地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1. (1)求出v关于Q的函数解析式； (2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时，计算耗氧量的单位数． 解析　(1)设v＝k·log3(k＞0)， ∵当Q＝900时，v＝1， ∴1＝k·log3，∴k＝， ∴v关于Q的函数解析式为v＝log3. (2)令v＝1.5，则1.5＝log3，解得Q＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时，耗氧量的单位数为2 700. 学科网（北京）股份有限公司 $$