4.2.2 对数运算法则(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．化简log612－2log6的结果为(　　) A．6　 　 B．12　 　 C．log6　 　 D． 解析　原式＝log6－log62＝log6＝log6. 答案　C 2．已知a＝lg x，则a＋3＝(　　) A．lg (3x) B．lg (x＋3) C．lg x3 D．lg (1 000x) 解析　a＋3＝lg x＋3＝lg x＋lg 1 000 ＝lg (1 000x). 答案　D 3．(多选题)下列等式不成立的是(　　) A．ln e＝1 B．＝a C．lg (MN)＝lg M＋lg N D．log2(－5)2＝2log2(－5) 解析　根据对数式的运算，可得ln e＝1，故A成立； 由根式与分数指数幂的互化可得＝a，故B成立； 取M＝－2，N＝－1，发现C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25， 故D不成立．故选CD. 答案　CD 4．(多选题)已知x，y为正实数，则(　　) A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y 解析　对于A，当x＝y＝1时，不成立，故A错误； 对于B，当x＝y＝1时，不成立，故B错误； ∵(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，∴C正确， ∵2ln x·2ln y＝2ln x＋ln y＝2ln (xy)，∴D正确． 答案　CD 5．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________． 解析　∵4a＝2， ∴a＝log42＝log44＝. 又∵lg x＝a，∴lg x＝， ∴x＝10＝. 答案　 6．已知2x＝3y，则＝________． 解析　令2x＝3y＝t＞0，则x＝log2t，y＝log3t，故＝＝log23. 答案　log23 7．设a＝lg 2，b＝lg 5，则10a＝________；2a·2b＝________． 解析　由a＝lg 2可得10a＝2，2a·2b＝2a＋b＝2lg 2＋lg 5＝2lg 10＝2. 答案　2　2 8．(1)若2a＝5b＝10，求＋的值； (2)求(log32＋log92)·(log43＋log83)的值； 解析　(1)∵2a＝5b＝10， ∴a＝log210，b＝log510， ∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)原式＝· ＝· ＝·＝. (3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3， 分母＝(lg 6＋2)－lg ＝lg 6＋2－lg ＝4，∴原式＝. [关键能力·综合提升] 9．已知x，y，z都是大于1的正数，m＞0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(　　) A． B．60 C． D． 解析　由已知得 logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝， 而logmx＝，logmy＝， 故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝， 即logzm＝60. 答案　B 10．(多选题)设a＝log36，b＝log2，则下列结论正确的有(　　) A．－＝1　　　 B．＋＝1 C．a＋b＜0 D．－＜0 解析　因为－＝log63＋log62＝1，所以A正确； 因为＋＝log63－log62＝log6≠1，所以B错误； 因为＋＝log6＞0，所以＞0，又ab＜0，所以a＋b＜0，所以C正确； 因为－＝＝＋＞0，所以D错误．故选AC. 答案　AC 11．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则的值为________． 解析　令t＝logab，则t＋＝， ∴2t2－5t＋2＝0，即(2t－1)(t－2)＝0， 解得t＝或t＝2， ∴logab＝或logab＝2， ∴a＝b2或a2＝b， ∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4， ∴＝2或＝. 答案　2或 12．已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示log125＝____________，lg ＝________． 解析　因为lg 2＝a，lg 3＝b， 所以log125＝＝＝. lg ＝lg 54＝lg 6＋lg 9＝lg 6＋lg 3 ＝(lg 2＋lg 3)＋lg 3＝(a＋b)＋b＝a＋b. 答案　　a＋b 13．(1)求(log2 3＋log8 9)(log3 4＋log9 8＋log3 2)＋(lg 2)2＋lg 20×lg 5的值； (2)若a，b，c∈N*，且满足a2＋b2＝c2， 求log2＋log2的值． 解析　(1)原式＝＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5 ＝log2 3·log3 2＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5 ＝＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5 ＝＋lg 2＋lg 5＝＋1＝. (2)因为a2＋b2＝c2， 所以log2＋log2 ＝log2 ＝log2 ＝log2 ＝log2 ＝1. [核心价值·探索创新] 14．学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1＋1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.783 4 ：而把(1－1%)365看作是每天“落后”率都是1%，一年后是0.99365≈0.025 5.若想“进步”的值是“落后”的值的10倍，大约要经过________天．(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6)(　　) A．110 B．115 C．120 D．125 解析　设经过x天“进步”的值是“落后”的值的10倍，则10×0.99x＝1.01x，即x＝10， 则x＝log10＝＝＝≈＝≈115， 所以大约经过115天“进步”的值是“落后”的值的10倍． 答案　B 15．设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy. 证明　当x＝y＝z＝1时，满足z＝xy； 当x≠1，y≠1，z≠1时， 令xa＝yb＝zc＝t(t＞0，且t≠1)， 则a＝logxt，b＝logyt，c＝logzt. 因为＋＝， 所以logtx＋logty＝logtz. 所以logt(xy)＝logtz， 所以z＝xy. 学科网（北京）股份有限公司 $$