6.1.4 数乘向量&6.1.5 向量的线性运算(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6．1.4　数乘向量 6．1.5　向量的线性运算 学业标准 素养目标 1．掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义．(重点) 2．掌握线性运算的运算律，并能进行线性运算．(难点) 1．通过数乘向量定义、几何意义的学习，主要培养学生数学抽象、直观想象核心素养． 2．通过向量的线性运算，主要提升学生数学运算核心素养． [对应学生用书P112] 导学1　数乘向量 　如图：，已知向量a，请作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，并指出所得和向量与向量a的模、方向有什么关系． [提示]　如图，a＋a＋a＝，(－a)＋(－a)＋(－a)＝，可以发现：a＋a＋a与a的方向相同，模是a的模的3倍；(－a)＋(－a)＋(－a)与a的方向相反，模是a的模的3倍． ◎结论形成 数乘向量的定义及几何意义 1．定义 给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作__λa__． 其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为__|λ||a|__，而且λa的方向： ①当λ＞0时，与a的方向__相同__； ②当λ＜0时，与a的方向__相反__． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝__0__． 实数λ与向量a的__乘积__简称为数乘向量． 2．几何意义 数乘向量的几何意义是把向量沿着它的方向或反方向放__大__或缩__小__．特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个__向量__的乘积，即－a＝(－1)a. 导学2　线性运算的运算律 　对于向量的运算律，第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ a，第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，它们有何区别？ [提示]　在(λ＋μ)a＝λa＋μ a中，是对实数λ，μ的分配，用几何图形反映出来是在同一方向上，向量a之间的变化；在λ(a＋b)＝λa＋λb中，是对两个向量a，b进行的分配，反映在图形中(特别是右式)表现出是三角形法则求和． ◎结论形成 1．向量的线性运算 向量的加法、减法，数乘向量以及它们的__混合运算__，统称为向量的线性运算． 2．线性运算的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)结合律：λ(μ a)＝__(λμ)a__． (2)第一分配律：(λ＋μ)a＝__λa＋μ_a__． (3)第二分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__． [对应学生用书P113] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa(λ∈R)与a一定平行．(　　) (2)若λa＝0，则必有a＝0.(　　) (3)当λ＝0时，λa＝0.(　　) (4)若5(x＋a)＋3(x－b)＝0，则x＝b－a.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　) A．－2　　　　　　　　　 B． C．－ D．2 解析　如图，＝3，所以＝2. 答案　D 3．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a. 解析　由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|， 又两向量同向，故b＝2a. 答案　2 4．在△ABC中，D是AB边上一点，若＝，＝＋λ，则λ＝________． 解析　因为＝，所以＝＋， 故λ＝. 答案　 [对应学生用书P113] 题型一　数乘向量的定义及运算 　(1)已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a|　　　　 B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0 (2)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. [自主解答]　(1)当λ＜0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C. (2)∵b与a方向相反，∴设a＝λb(λ＜0)，∴|a|＝|λ||b|，即5＝|λ|×7，∴λ＝±. 又λ＜0，∴λ＝－. [答案]　(1)C　(2)－ 1．解决数乘向量问题的关键应注意两点：方向是相同还是相反，模长放大还是缩小． 2．数乘向量的运算可以与以前我们学习过的数乘单项式运算相类比． [触类旁通] 1．(1)已知＝－，＝λ，则λ的值为________． (2)化简下列各式： ①×4a；②×2×9a；③－6×a. 解析　(1)因为＝－，所以P，P1，P2三点共线，且P2在线段PP1的反向延长线上， 所以＝，所以λ＝. (2)①×4a＝a＝2a；②×2×9a＝6a；③－6×a＝－3a. 答案　(1)　(2)略 题型二　向量的线性运算 　(1)化简下列各式． ①－； ②[3(2a＋8b) －(4a－2b)].. (2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，. [自主解答]　(1)①－＝ 2－－＋2＝2＋＋＋2＝2＋＝2＋＝. ②[3－6]＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b) ＝－a＋b. (2)由三角形中位线定理，知DE 綊BC， 故＝，即＝a， ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－ a＋b， ＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b. 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量． [触类旁通] 2．化简：－. 解析　原式＝－ ＝a＋b－a－b－a－b－a＝0. 题型三　向量之间的线性表示(一题多变) 　(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示). (2)如图所示，四边形OADB是平行四边形，＝a，＝b，又＝，＝，试用a，b表示，，. [自主解答]　(1)因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋ ＝a－b. (2)因为＝－＝a－b， 所以＝＝＝(a－b)， 所以＝＋＝b＋(a－b)＝b＋a－b＝a＋b. 又由＝＋＝a＋b，得 ＝＋＝＝a＋b. 所以＝－＝－ ＝a－b. [答案]　(1)a－b　(2)略 [母题变式] (变条件、变结论)本例(1)中，若将“＝a，＝b”改为“点F为边AB的中点，设a＝，b＝”，其余不变，则＝________(用a，b表示). 解析　由题意解得 所以＝－＝a＋b. 答案　a＋b [素养聚焦]　　本题主要考查向量线性运算几何意义，突出考查直观想象数学运算等核心素养． 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． [触类旁通] 3．(一题多解)如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和. 解析　解法一　连接CN，则AN綊DC，所以四边形ANCD是平行四边形． ＝－＝－b， 又＋＋＝0. 所以＝－－＝b－a， 所以＝－＝＋＝－b＋a＝a－b. 解法二　因为＋＋＋＝0， 即a＋＋＋(－b)＝0， 所以＝b－a， 又在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0. 即b＋a＋＋＝0， 所以＝a－b. [缜密思维提能区]　易错案例 向量的线性运算忽略图形的性质致错 [典例]　已知点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示. [错解]　 图1 如图1，连接BE并延长，交CD于点G，连接AG，由于点E是AC的中点，所以四边形ABCG是平行四边形，所以＝，所以＝＋＝b＋a. 又EF是△BGD的中位线， 所以＝＝－. 所以＝－(a＋b). 事实上，由于四边形ABCD不一定是梯形，只是一般的四边形，所以点E不一定为BG的中点，所以四边形ABCG不一定是平行四边形，即不一定等于a. [正解]　 图2 如图2，取AB的中点P，连接EP，FP. 在△ABC中，EP是中位线， 所以＝＝a. 在△ABD中，FP是中位线， 所以＝ ＝－＝－b. 在△EFP中，＝＋＝－＋ ＝－a－b＝－(a＋b). ●纠错心得 在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质．应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解． 知识落实 技法强化 1．数乘向量定义、运算及几何意义． 2．向量线性运算的运算． 1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的． 2．若∃λ∈R，使得＝λ，则与平行，且AB与AC有公共点A⇒A，B，C三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$