6.1.2 向量的加法&6.1.3 向量的减法(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6．1.2　向量的加法 6．1.3　向量的减法 学业标准 素养目标 1．理解向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和．(重点) 2．理解向量减法的定义，会用向量加、减法的运算律进行向量运算．(难点) 1．通过学习向量加、减法的定义，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过向量的加、减法运算，提升学生直观想象、数学运算等核心素养． [对应学生用书P108] 导学1　向量的加法 　某对象从A地经B地到C地，两次位移，的结果，与从A地直接到C地的位移的关系如何？ [提示]　结果相同，即＋＝. ◎结论形成 1．向量加法的三角形法则 已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量____叫作a与b的和(或和向量)，记作__a＋b__，即a＋b＝＋＝____．上述求两个向量和的作图法则，叫作向量求和的三角形法则． 规定：对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝__0__＋__a__＝__a__． 2．平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则A，B，D三点不共线，以__AB__，__AD__为邻边作__▱ABCD__，则对角线上的向量____＝a＋b，如图，这种求两向量和的作图方法叫作向量加法的平行四边形法则． 3．向量a，b的模与a＋b的模之间的不等关系 对任意向量a，b都有：||a|－|b||__≤__|a＋b|__≤__|a|＋|b|. ●点睛 当a，b同向时|a＋b|＝|a|＋|b|； 当a，b反向时，|a＋b|＝|a|－|b|或|b|－|a|. 4．向量加法满足的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 导学2　向量的减法 　在实数的运算中，减去一个数，等于加上它的相反数，那么向量的减法运算能否转化为向量的加法运算呢？ [提示]　减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． ◎结论形成 1．向量的减法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，＋＝，因此向量____就是向量a与b的差(也称为向量a，b的差向量)，即－＝____． 2．相反向量 (1)定义 给定一个向量，我们把与这个向量方向__相反__、大小__相等__的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作__－a__． 任何一个向量与它的相反向量的和等于__零__向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0. (2)结论 一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的__相反向量__． ●点睛　当a与b同向时|a－b|＝||a|－|b||； 当a与b反向时，|a－b|＝|a|＋|b|. [对应学生用书P109] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＋＋＋＝.(　　) (2)|a＋b|＜|a|＋|b|.(　　) (3)若＝a－b，则的相反向量为b－a.(　　) (4)相反向量必是平行向量．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0. 正确的个数是(　　) A．3　　　 B．4　　　　 C．5　　　 D．6 答案　D 3．(多选题)下列四式中能化简为的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C．－＋ D．＋－ 解析　对于A，有＋＋＝；对于B，有＋(＋)＋＝＋(＋)＝；对于C，有(－)＋＝＋＝；只有D无法化简为. 答案　ABC 4．已知|a|＝|b|＝1，则当向量a，b方向相同时，|a－b|＝________；当向量a，b方向相反时，|a－b|＝________． 答案　0　2 [对应学生用书P109] 题型一　向量加法、减法法则(一题多解) 　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [自主解答]　解法一　如图1所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b， 再作＝c，则＝a＋b－c. 解法二　如图2所示，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c， 连接OC，则＝a＋b－c. 求作几个已知向量的和或差的方法 (1)作两向量的和向量 ①将两个向量的起点平移到同一点O，作平行四边形，利用平行四边形法则得到和向量； ②利用三角形法则，依次平移两个向量，并让它们首尾相接． (2)作两向量的差向量 将两个向量的起点平移到同一点O.连接两向量终点，指向被减向量． (3)作多个向量的和或差时，应先确定作图顺序，再依次完成． [触类旁通] 1.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空： a＋b＝________； b＋c＝________； c－d＝________； a＋b＋c－d＝________. 解析　a＋b＝＝－f， b＋c＝＝－e， c－d＝c＋(－d)＝＋＝＝f， a＋b＋c－d＝＋＋－ ＝＋＋＋＝0. 答案　－f　－e　f　0 题型二　向量加、减法的运算(一题多变) 　(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． (2)化简：(－)＋(－)＝________． (3)如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．(用a，b，c表示) [自主解答]　(1)＋－－ ＝－＋－＝＋ ＝－＋＝0.故选A. (2)原式＝＋＋－＝＋－＝. (3)由已知＝，则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. [答案]　(1)A　(2)　(3)a＋c－b [母题变式] (变结论)在本例(1)中试化简(＋)－(＋). 解析　因＝， 所以||＝||， 故||＝||，＋＝0， 原式＝(－)＋(－) ＝＋＝0. [素养聚焦]　　本题主要考查向量加、减法的运算，突出考查直观想象核心素养． (1)加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指终点． (2)减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指被减． (3)规律：应把首尾相接的放在一起计算，始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图形，结合图形观察将使问题更为直观． [触类旁通] 2．(一题多解)化简下列各式： (1)(－)－(－)； (2)＋＋－－. 解析　(1)解法一　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 解法二　(－)－(－) ＝－－＋ ＝(－)＋(－)＝＋＝0. 解法三　设O为平面内任意一点，连接OA，OB，OC，OD，则(－)－(－)＝－－＋ ＝(－)－(－)－(－)＋(－) ＝－－＋－＋＋－＝0. (2)解法一　在平面内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD， 则＋＋－－ ＝(－)＋(－)＋(－)－(－)－(－)＝－＋－＋－－＋－＋＝－＝. 解法二　＋＋－－＝＋＋＋＋＝(＋＋)＋(＋)＝0＋＝. 题型三　向量加减法的综合应用(题点多探　多维探究) 角度1　利用已知向量表示未知向量 　如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，－. [自主解答]　＝－＝c－a， ＝－＝d－a， －＝＝－＝d－b， ＋＝－＋－＝b－a＋f－c， －＝＝－＝f－d， －＝(－)－(－) ＝－－＋＝f－e－c＋b. 在图形中用几个已知向量表示其他向量的一般步骤 (1)先观察各向量在图形中的位置． (2)寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形． (3)运用法则找关系(当运用三角形法则时，要注意两个向量需“首尾相连”，当两个向量共始点时，可以考虑用减法). (4)化简得结果． 角度2　求解(证)几何问题 　在四边形ABCD中，＝，且|＋|＝|＋|，试求证四边形ABCD为矩形． [自主解答]　证明　因为四边形ABCD中，＝， 所以AB∥DC，且||＝||， 所以四边形ABCD为平行四边形，如图， 所以＋＝，＋＝＋＝， 因为|＋|＝|＋|， 所以||＝||，即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形． 向量应用于几何问题的关键 向量是沟通“数”与“形”的桥梁．利用向量的加法可以证明线段的平行和相等，在解决问题中应抓住向量及其加法的几何意义求解．用向量证明几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何问题． [触类旁通] 3．(1)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________． 解析　－＋＝＋＋＝，∴|－＋|＝||＝2. 答案　2 (2)如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知＝a，＝b，＝c，＝e，用a，b，c，e表示向量. 解析　在△OBE中，有＝＋＝e－c， 在△ABO中，＝＋＝e－c－a， 在△ABD中，＝＋＝a＋b， 所以在△OAD中，＝＋＝e－c－a＋a＋b＝e－c＋b. [缜密思维提能区]　易错案例 因忽视特殊情况而致误 [典例]　已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示a，b，c的有向线段是否一定能构成三角形？ [错解]　在平面上任取一点A，作＝a，再以B为始点作＝b，则＝a＋b. ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)＝－＝. 因而当a＋b＋c＝0时，表示a，b，c的有向线段一定能构成△ABC. [正解]　①当a，b不共线时，在平面上任意取一点A，作＝a，再以B为始点作＝b，则＝a＋b，A，B，C三点不共线． ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)＝－＝. ∴表示a，b，c的有向线段能构成△ABC. ②当a，b共线时，即使a＋b＋c＝0成立，也不能构成三角形． 综上，只有a，b，c两两均不共线时，表示它们的有向线段才能构成三角形． ●纠错心得 在解有关向量问题时，应考虑全面，特别要注意题中的特殊情况． 知识落实 技法强化 1．向量的加法①向量加法法则；②向量的加法满足的运算律． 2．向量的减法、相反向量． 1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $$