5.3.5 随机事件的独立性(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

5．3.5　随机事件的独立性 学业标准 素养目标 1．结合实例，理解两个随机事件独立性的意义．(难点) 2．掌握相互独立事件的概率乘法公式，并能应用公式求事件的概率．(重点) 1．通过学习事件的独立性概念，培养数学抽象核心素养． 2．通过相互独立事件的概率公式的应用，提升数学运算、逻辑推理核心素养． [对应学生用书P91] 导学　随机事件的独立性 　甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A：从甲箱里摸出白球，B：从乙箱里摸出白球． (1)直观上，你觉得事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ (2)P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ (3)P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？ [提示]　(1)不影响． (2)由古典概型公式可得P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝＝. (3)P(AB)＝P(A)·P(B). ◎结论形成 1．相互独立事件的定义 当P(AB)＝__P(A)P(B)__时，就称事件A与B相互独立(简称独立).A与B相互独立的直观理解是事件A是否发生不会影响事件B发生的__概率__，事件B是否发生也__不会__影响事件A发生的概率． 2．性质 如果A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立． ●点睛 1．A与B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B). 2．互斥事件与相互独立事件的区别 (1)相互独立事件与互斥事件是两个不同的概念，前者是指一个事件是否发生对另一个事件发生的 概率没有影响，后者是指在一次试验中不能同时发生的两个事件． (2)A与B独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)，而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)却不能得到A与B互斥． 3．推广 事件A1，A2，…，An相互独立的充要条件是P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An). [对应学生用书P91] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B).(　　) (2)若事件A与B相互独立，则事件与事件B也相互独立．(　　) (3)若事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝1－P()P().(　　) (4)事件A与B可以是相互独立但不互斥．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．某射击运动员射击一次命中目标的概率为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是(　　) A．0.64　　　　　　　 B．0.56 C．0.81 D．0.99 解析　Ai表示“第i次击中目标”，i＝1，2， 则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81. 答案　C 3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知甲乙同时中靶的概率为×＝. 答案　A 4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××＝. 答案　C [对应学生用书P92] 题型一　相互独立事件的判断 　有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立　　　 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 [自主解答]　P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝， P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)， P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)， P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)， P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故选B. [答案]　B 两个事件是否相互独立的判断方法 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． [触类旁通] 1．篮球比赛中罚球两次时，事件“第一球罚中”与“第二球罚中”相互独立．对吗？ 解析　对．用1表示罚中，0表示没罚中，罚球两次的样本空间Ω＝{(1，0)，(1，1)，(0，1)，(0，0)}，设“第一球罚中”为事件A，“第二球罚中”为事件B，则A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(1，1)，(0，1)}，AB＝{(1，1)}，P(AB)＝，P(A)P(B)＝×＝，即P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件“第一球罚中”与“第二球罚中”相互独立． 题型二　相互独立事件的概率 　某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为，，.已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其他的为废品，不进入市场． (1)生产一个元件，求该元件为二等品的概率； (2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率． [自主解答]　(1)不妨设元件经A，B，C三道工序加工合格的事件分别为A，B，C. 所以P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. P()＝，P()＝，P()＝. 设事件D为“生产 一个元件，该元件为二等品”． 由已知A，B，C是相互独立事件． P(D)＝P(BC＋AC＋AB) ＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝××＋××＋××＝. 所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为. (2)生产一个元件，该元件为一等品的概率为P＝××＝. 设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则P(E)＝3××＋＝＝.所以至少有2个元件是一等品的概率为. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 判 判断所给事件是否为相互独立事件 记 将所给事件记为事件A，B，C… 求 确定事件可以同时发生，求出每个事件发生的概率并求其积 答 对所问问题作答 [触类旁通] 2．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 解析　记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5； 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6； 记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”； 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”． (1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)易知D＝(A)∪(B)， 则P(D)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)·P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. 题型三　相互独立事件的综合问题(一题多变) 　某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ [自主解答]　分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示， P( )＝P()P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003. 所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)“恰好一科成绩未获得第一名”可以用(BC)＋(AC)＋(AB)表示． 由于事件BC，AC和AB两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)] ＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求在一次考试中，语、数、英三科至少有一科获得第一名的概率． 解析　事件“语、数、英三科至少有一科获得第一名”的对立事件为“语、数、英三科都没有获得第一名”，该事件可以用表示，则“语、数、英三科至少有一科获得第一名”的概率为1－P()＝1－P()P()P()＝1－(1－0.9)·(1－0.8)(1－0.85)＝1－0.003＝0.997. 1．求较为复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示． (2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式． (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 2．熟记基本事件运算：如A，B至少有一个发生的事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为(A)∪(B)；至多有一个发生的事件记为(A)∪(B)∪(). [触类旁通] 3．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，.所有考试是否合格相互之间没有影响． 问：甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？ 解析　记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3，记i为Ai的对立事件，i＝1，2，3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3.记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C， 则P(A)＝P(A1B1)＝×＝， P(B)＝P(A2B2)＝×＝， P(C)＝P(A3B3)＝×＝， 有P(B)>P(C)>P(A)， 故乙获得合格证书的可能性最大． 知识落实 技法强化 1．相互独立事件的定义． 2．相互独立事件的性质． 1．两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立． 2．注意大前提：P(AB)＝P(A)·P(B)使用的前提是A，B为相互独立事件． 学科网（北京）股份有限公司 $$