5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

5．2　数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 [对应学生用书P74] 日常生活中，为了方便管理，人们经常对人或事物进行连续编号． 在很多情况下，得到最大的编号并不容易，但可以得到一些编号的样本．此时，能不能根据编号样本的信息，利用有关统计的知识，估计出人或物的总数呢？ 类似问题在实际生活中有时是有战略意义的．例如，二战期间，德军生产的坦克是连续编号的，盟军从战场上缴获了一些德军坦克，因此获得了一些坦克编号，盟军希望能根据这些样本数据估计出德军所生产的坦克数量．后来统计学家们圆满地解决了这一问题，而且，如下表所示，当时统计学家们的估计比情报部门的估计误差小很多！ 时间 统计估计 情报估计 实际数量 1940年6月 169 1 000 122 1941年6月 244 1 550 271 1942年8月 327 1 550 342 [对应学生用书P75] 要完成的任务可以简述为：假设已有的编号样本从小到大依次为x1，x2，…，xm，由这些样本怎样去估计总数n. 最大值估计：n的值一定不会小于编号中的最大值，所以可以用编号中的最大值作为n的一个估计，即n≈xm. 平均值估计：考虑到样本的平均数与总体的平均数应该相差不大，因此可用样本平均数来给出n的一个估计．记＝，又因为＝，所以有≈，从而可以用大于等于2－1的最小整数作为n的估计． 值得注意的是，这种方法得到的n的估计与xm的相对大小是不确定的，因此有可能出现n＜xm的情况．当然，此时我们可以用xm作为n的估计值． 你能想出其他的估计方法吗？感兴趣的学生请查阅有关资料进行了解． [对应学生用书P75] 请与其他同学分工合作，寻找生活中有连续编号的实例，获取适当容量的编号样本，在此基础上讨论估计总数的多种办法，并用模拟的办法验证估计方法的准确性，将活动过程记录在下表中． 由编号样本估计总数活动记录表 活动开始时间：________________ (1)成员与分工 姓名 分工 (2)待估计总数的、有连续编号的实例 (3)获取的编号样本 (4)估计总数的方法以及计算过程 (5)采用模拟的方法以及估计结果的验证 (6)活动总结(包括活动感受等) 活动结束时间：________________ 阶段测评三(范围5.1，5.2) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(　　) A．93　　　　　　　 B．123 C．137 D．167 解析　初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137. 答案　C 2．某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg，试估计鱼塘中鱼的总质量约为(　　) A．192 280 kg B．202 280 kg C．182 280 kg D．172 280 kg 解析　平均每条鱼的质量为＝＝2.53 kg，所以估计这时鱼塘中鱼的总质量约为80 000×95%×2.53＝192 280 kg. 答案　A 3．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为mo，平均值为，则(　　) A．me＝mo＝ B．me＝mo＜ C．me＜mo＜ D．mo＜me＜ 解析　由题图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5，6，故中位数me＝5.5，得分为5的最多，故众数m0＝5，平均数＝≈5.97.故m0＜me＜. 答案　D 4．从某中学高一年级中随机抽取100名学生的数学成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，原始数据丢失，则对该校高一学生数学成绩中位数的估计值较为合理的是(　　) A．115 B．125 C．120 D．124 解析　由题图可知(a＋a－0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a＝0.025.中位数在120～130之间，设中位数为x，则0.010×10＋0.030×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x＝124，故选D. 答案　D 5．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数、方差分别是(　　) A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 解析　因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，所以＝2，(xi－2)2＝， 因此数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为： (3xi－2)＝3×i－2＝4， 方差为：(3xi－2－)2 ＝(3xi－6)2 ＝9×(xi－2)2＝9×＝3. 答案　D 6．(多选题)甲、乙两支女子曲棍球队在某年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的有(　　) A．甲队的技术没乙队好 B．乙队发挥比甲队稳定 C．乙队几乎每场都进球 D．甲队的表现时好时坏 解析　因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，A错误；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，B正确；乙队平均每场进球数为1.8，标准差为0.3，较稳定，所以乙队几乎每场都进球，C正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，D正确． 答案　BCD 7．(多选题)空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为[0，50]，[51，100]，[101，150]，[151，200]，[201，300]，[301，500]，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是(　　) A．这14天中有4天空气质量指数为“良” B．从2日至5日空气质量越来越差 C．这14天中空气质量指数的中位数是103 D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日至11日 解析　根据题图分析数据，对选项逐一判断． 对于A，1日、3日、12日、13日，共4天空气质量指数为“良”，故A正确； 对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确； 对于C，中位数为＝103.5，故C错误； 对于D，方差小说明3个数据的波动较小，由题图可知D正确．故选ABD. 答案　ABD 8．(多选题)某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图．以样本估计总体，则下列结论不正确的是(　　) A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80% B．该公司职工测试成绩的中位数约为75 C．该公司职工测试成绩的平均值约为68 D．该公司职工测试成绩的众数约为60 解析　对于A，该公司职工的测试成绩不低于60分的频率为(0.02＋0.015)×20＝0.70，∴该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的70%，故A错误； 对于B，测试成绩在[20，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，测试成绩在[60，80)的频率为0.02×20＝0.4， ∴该公司职工测试成绩的中位数约为60＋×20＝70，故B错误； 对于C，估计该公司职工测试成绩的平均值＝30×0.005×20＋50×0.01×20＋70×0.02×20＋90×0.015×20＝68，故C正确； 对于D，该公司职工测试成绩的众数约为＝70，故D错误．故选ABD. 答案　ABD 二、填空题(每小题5分，共20分) 9．为调查某高校学生对本校文化的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生的总人数是________． 解析　由题意知，从其他年级抽取200人，又其他年级共有学生3 000人，所以该校学生的总人数是＝7 500. 答案　7 500 10．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的方差是________． 解析　设这10个数为a1，a2，…，a10，则有a＋a＋…＋a＝200，且a1＋a2＋…＋a10＝40，则这10个数的方差为 ＝ ＝＝4. 答案　4 11．如图是根据某中学为敬老院捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款________元． 解析　由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元). 答案　37 770 12．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50～350度之间，频率分布直方图如图所示： (1)直方图中x的值为________． (2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________． 解析　(1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4. (2)数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，所以月用电量在[100，250)内的户数为100×0.7＝70. 答案　(1)0.004 4　(2)70 三、解答题(共40分) 13．(10分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. ①求x的值． ②现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ ③在②中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是40 kg，50 kg，60 kg，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差． 解析　①∵＝0.19，∴x＝380. ②初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×500＝12(名). ③初一年级应抽取学生的人数×750＝18， 初二年级应抽取学生的人数×750＝18， 所以该校所有学生体重的平均数约为 ＝×40＋×50＋×60＝48.75， 该校所有学生体重的方差约为 s2＝×[1＋(40－48.75)2]＋×[2＋(50－48.75)2]＋×[3＋(60－48.75)2]＝62.812 5. 14．(10分)为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取一个容量为20的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并分为[92，94)，[94，96)，[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]七组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中x的值； (2)根据频率分布直方图，估计200件该产品中尺寸在[98，100)内的个数； (3)记产品尺寸在[98，102)内的为优等品，每件可获利5元；在[92，94)内的为不合格品，每件亏损2元；其余的为合格品，每件可获利3元．已知每台机器一个月共生产3 000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若每台机器生产的产品一个月所获得的利润未达到11 000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造． 解析　(1)由(0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x)×2＝1，解得x＝0.12. (2)估计200件该产品中尺寸在[98，100)内的个数为200×0.09×2＝36. (3)由题意可得，这批产品中优等品有3 000×(0.18＋0.20)＝1 140(件)， 不合格品有3 000×0.04＝120(件)， 合格品有3 000－1 140－120＝1 740(件)， 所以每台机器生产的产品一个月所获得的利润为1 140×5＋1 740×3－120×2＝10 680(元)， 因为10 680＜11 000，所以需要对该工厂设备实施升级改造． 15．(10分)随着互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图： (1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)根据以上抽样调查的数据，用样本估计总体，回答下列问题： ①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的商家达到75%? ②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？请说明理由． 解析　(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数约为55. 使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数约为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40. (2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的商家的比例估计值为0.04＋0.2＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的商家达到75%. ②因为使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件． 16．(10分)已知甲工厂生产一种内径为36.5 mm的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的2 000 件零件中抽出100件，测得其内径尺寸如下(单位：mm)：36.2×16，36.6×12，36.3×12，36.4×12，36.5×20，36.7×12，36.8×16(注：x×n表示有n件尺寸为x mm的零件). (1)求这100件零件内径尺寸的平均数； (2)设这100件零件内径尺寸的方差为s2，试估计该厂2 000件零件中其内径尺寸(单位：mm)在(－s，＋0.5s)内的件数； (3)若乙工厂也生产同种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的2 000件零件中抽出100件，测得其内径(单位：mm)的方差为0.040 5，试比较甲、乙两工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性． 解析　(1)＝×[(36.2＋36.8)×16＋(36.6＋36.4)×12＋(36.3＋36.7)×12＋36.5×20]＝36.5. (2)因为|36.2－36.5|＝|36.8－36.5|＝0.3，|36.6－36.5|＝|36.4－36.5|＝0.1，|36.3－36.5|＝|36.7－36.5|＝0.2，|36.5－36.5|＝0，故s2＝×(0.32×16×2＋0.12×12×2＋0.22×12×2)＝0.040 8. 所以s＝∈(0.2，0.21)，故(－s，＋0.5s)∈(36.29，36.605)，故1件零件内径尺寸在(－s，＋0.5s)内的频率为＝0.56，故估计该厂2 000件零件中内径尺寸在(－s，＋0.5s)内的件数为2 000×0.56＝1 120. (3)因为甲工厂抽检的100个零件内径尺寸的方差0.040 8＞0.040 5，所以乙工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性更好． 学科网（北京）股份有限公司 $$