第5章 5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

日常生活中，为了方便管理，人们经常对人或事物进行连续编号． 在很多情况下，得到最大的编号并不容易，但可以得到一些编号的样本．此时，能不能根据编号样本的信息，利用有关统计的知识，估计出人或物的总数呢？ 类似问题在实际生活中有时是有战略意义的．例如，二战期间，德军生产的坦克是连续编号的，盟军从战场上缴获了一些德军坦克，因此获得了一些坦克编号，盟军希望能根据这些样本数据估计出德军所生产的坦克数量．后来统计学家们圆满地解决了这一问题，而且，如下表所示，当时统计学家们的估计比情报部门的估计误差小很多！ 时间 统计估计 情报估计 实际数量 1940年6月 169 1 000 122 1941年6月 244 1 550 271 1942年8月 327 1 550 342 要完成的任务可以简述为：假设已有的编号样本从小到大依次为x1，x2，…，xm，由这些样本怎样去估计总数n. 最大值估计：n的值一定不会小于编号中的最大值，所以可以用编号中的最大值作为n的一个估计，即n≈xm. 平均数估计：考虑到样本的平均数与总体的平均数应该相差不大，因此可用样本平均数来给出n的一个估计．记＝，又因为＝，所以有≈，从而可以用大于等于2－1的最小整数作为n的估计． 值得注意的是，这种方法得到的n的估计与xm的相对大小是不确定的，因此有可能出现n＜xm的情况．当然，此时我们可以用xm作为n的估计值． 你能想出其他的估计方法吗？感兴趣的学生请查阅有关资料进行了解． 请与其他同学分工合作，寻找生活中有连续编号的实例，获取适当容量的编号样本，在此基础上讨论估计总数的多种办法，并用模拟的办法验证估计方法的准确性，将活动过程记录在下表中． 由编号样本估计总数活动记录表 活动开始时间： (1)成员与分工 姓名 分工 (2)待估计总数的、有连续编号的实例 (3)获取的编号样本 (4)估计总数的方法以及计算过程 (5)采用模拟的方法以及估计结果的验证 (6)活动总结(包括活动感受等) 活动结束时间： 学科网（北京）股份有限公司 $