5.1.1 数据的收集(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

5．1　统计 5．1.1　数据的收集 学业标准 素养目标 1．了解总体、样本、样本容量的概念，了解数据的随机性．(难点) 2．通过实例，了解简单随机抽样、分层抽样的特点及适用范围，并能根据实际问题的特点，选择恰当的抽样方法解决问题．(重点) 1．通过对总体、样本、普查、抽样调查、简单随机抽样、分层抽样等概念的学习，主要培养学生数学抽象核心素养． 2．通过简单随机抽样和分层抽样的应用，提升学生数据分析等核心素养． [对应学生用书P48] 导学1　数据的收集、简单随机抽样 　假设要在你们班(45人)选派5个人去参加某项活动，为了体现选派的公平性，你有什么办法确定具体人选？如何操作？假设要在你们校(假设4 000人)选派5个人去参加某项活动，如何选呢？ [提示]　用抽签法(抓阄法)确定人选，具体操作如下：用小纸条把每个同学的学号写下来，揉成小球放在盒子里，并搅拌均匀，然后随机从中逐个抽出5个学号，被抽到学号的同学即为参加活动的人选．对于后者，利用随机数法． ◎结论形成 1．普查和抽样调查 调查方式 普查 抽样调查 定义 对总体的__每个个体__都进行考查的方法称为普查 只__抽取样本__进行考查的方法称为抽样调查 适用范围 总体包含的个体__总数不大__或有特殊情况下 总体包含的个体总数__较大__或考查的方法具有破坏性、时间不允许、成本太高等 优点 能了解总体每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征 迅速、及时、节约人力、物力、财力 缺点 成本太高，费时费力 结果具有不确定性 2．简单随机抽样 (1)定义及适用范围 简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全__随机__地抽取个体．简单随机抽样是其他各种抽样方法的基础．当总体的个体之间差异程度__较小__和总体中个体数目__较少__时，通常采用这种方法． (2)常见的两种方法 常见的简单随机抽样方法有__抽签__法、__随机数表__法． 导学2　分层抽样 　某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生抽取1%的学生进行调查，为了抽样方便，能不能只从小学生或初中生或高中生中抽取中小学生总数的1%？你认为应当怎样获取样本才更为合理？ [提示]　不能，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样． ◎结论形成 1．定义 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显__差别__的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占__比例__进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样). 2．分层抽样的优点 通过分层抽样所得到的样本，一般更具有__代表__性，可以更__准确__地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此．分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法． [对应学生用书P49] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分层随机抽样适合个体有显著差异的总体．(　　) (2)在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样，那么应抽红球5个．(　　) (3)简单随机抽样、分层随机抽样两者的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．(　　) (4)任意抽样调查，均可使用抽签法．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是(　　) A．500名学生是总体 B．每个被抽查的学生是个体 C．抽取的60名学生的体重是一个样本 D．抽取的60名学生的体重是样本容量 解析　本题抽取的是60名学生的体重，因此500名学生的体重是总体，每个学生的体重是个体，这60名学生的体重构成一个样本，样本的容量为60. 答案　C 3．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　) A．30　　　 B．25　　　 C．20　　　 D．15 解析　样本中松树苗为4 000×＝4 000×＝20(棵). 答案　C 4．已知某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000 亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田粮食平均亩产量，则采用________方法抽样比较合理，其中山地应抽________亩． 解析　本题总体是由差异明显的几个层组成的，适合分层抽样的要求．山地应抽 480×＝80(亩). 答案　分层抽样　80 [对应学生用书P50] 题型一　简单随机抽样的应用 　为了适应新高考改革，尽快推行不分文理科教学，为对比目前文理科学生考试情况，学校决定从80名文科同学中抽取10人，从300名理科同学中抽取50人．学校你能选择合适的方法设计抽样方案吗？试一试． [自主解答]　文科同学抽样用抽签法，理科同学抽样用随机数表法，抽样过程如下： (1)先抽取10名文科同学： ①将80名文科同学依次编号为1，2，3，…，80； ②将号码分别写在形状、大小均相同的纸片上，制成号签； ③把80个号签放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取10次； ④与号签上号码相对应的10名同学的考试情况就构成一个容量为10的样本． (2)再抽取50名理科同学： ①将300名理科同学依次编号为001，002，…，300； ②从随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向，比如下面是随机数表的一部分从第1列的数字1开始向右读(如图所示).每次读取三位，凡不在001～300中以及重复的数都跳过去，得到号码125，210，142，188，264，…； ③这50个号码所对应的同学的考试情况就构成一个容量为50的样本． 简单随机抽样方法中最常用的是抽签法和随机数表法，当总体中个体数目较多，制签和摇匀都有困难时，应当选用随机数表法． [触类旁通] 1．在学习强国实践活动中，某单位共有50名志愿者参与了报名，现要从中随机抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽样，并写出过程． 解析　第一步，将50名志愿者编号，号码为1，2，3，…，50. 第二步，将号码分别写在大小、形状、质地都相同的纸条上，揉成团，制成号签． 第三步，将所有号签放入一个不透明的箱子中，搅拌均匀． 第四步，一次取出1个号签，连取6次，并记录其编号． 第五步，将对应编号的志愿者选出即可． 题型二　分层抽样方案设计 　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ [自主解答]　用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下： (1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工． (2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)； 在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)； 在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人). (3)在各层分别按随机数法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本． 利用分层随机抽样抽取样本的操作步骤 (1)将总体按一定属性特征进行分层． (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比． (3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量． (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样). (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本． [触类旁通] 2．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． 解析　第一步，确定抽样比． 因为100＋60＋40＝200，所以＝， 第二步，确定各层抽取的样本数． 一级品：100×＝10， 二级品：60×＝6， 三级品：40×＝4. 第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本． 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本． 题型三　分层抽样中的计算问题 (一题多变) 　(1)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师__________人． (2)某企业共有1 600名职工，其中，老年、中年、青年职工的比例为2∶3∶5，现用分层抽样的方法从所有的职工中抽取一个样本容量为200的样本，那么从中年职工中抽取多少人？ [自主解答]　(1)设该校其他教师有x人，则＝，解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182(人). (2)根据分层抽样的方法步骤，可知按照一定比例抽取，样本容量为200，那么根据题意从中年职工中抽取的人数为200×＝60. [答案]　(1)182　(2)60 [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)条件不变，则青年职工抽取________人． 解析　青年职工的抽取人数为200×＝100(人). 答案　100 2．(变条件)若把本例(2)中的职工的比例改为1∶6∶3，其他不变，应如何求解？ 解析　中年职工的抽取人数为200×＝120(人). 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 (1)＝. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． [触类旁通] 3．某网站针对“2025年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下的人数 200 400 800 35岁以上(含35岁)的人数 100 100 400 (1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值． (2)从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？ 解析　(1)由题意得 ＝，解得n＝40. (2)35岁以下的人数为×400＝4(人)，35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1(人). 知识落实 技法强化 1．数据的收集：普查与抽样调查． 2．简单随机抽样、分层抽样． 1．简单随机抽样的三个特点为总体有限、逐个抽取、等可能抽样．而分层抽样主要适用个体差异较大的抽样．简单随机抽样与分层随机抽样中每个个体入样均是等可能的． 2．解决分层抽样问题的关键是确定好对应各层的抽样比． 学科网（北京）股份有限公司 $$