4.5 增长速度的比较(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4．5　增长速度的比较 学业标准 素养目标 1．通过平均变化率比较指数函数、一次函数、对数函数的增长速度的差异．(难点) 2．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(重点、难点) 1．通过对线性增长、指数增长等不同函数增长含义的认识，培养学生直观想象等核心素养． 2．通过实际例子抽象出相应的函数模型，主要提升学生数学建模核心素养． [对应学生用书P33] 导学　用平均变化率比较函数的增长速度 　计算f1(x)＝6x－8，f2(x)＝2x，f3(x)＝log100x在[3，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． [提示]　＝6，＝8， ＝log100＜log10010＝， 故＜＜. ◎结论形成 1．平均变化率 (1)定义 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为＝____． (2)作用 平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值将增加个单位．因此可用平均变化率来比较函数值变化的__快慢__． 2．三种函数的增长速度的比较 (1)三种函数的性质及增长速度比较 名称 指数函数 对数函数 一元一次函数 解析式 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0) 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 图象(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升 增长速度(随x的增大) __y的增长速度越来越快__ __y的增长速度越来越慢__ __y值逐渐增加__ 增长关系 __存在一个x0，当x＞x0时，ax＞kx＞logax__ (2)指数增长与线性增长 将类似__指数函数__的增长称为指数增长(或指数级增长，是爆炸式增长). 将类似于__一次函数__的增长称为线性增长(或直线增长). [对应学生用书P33] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数logx的衰减速度越来越慢．(　　) (2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　) (3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有>x.(　　) (4)当a>1，k>0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有logax<kx<ax. (　　) 解析　(1)由函数y＝logx的图象可知其衰减速度越来越慢． (2)一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变． (3)如23<32. (4)如a＝2，k＝，x＝8. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝3x　　　　　 B．y＝1 000x C．y＝log2x D．y＝x3 解析　指数函数模型增长速度最快． 答案　A 3．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1 解析　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3. 答案　B 4．函数f(x)＝2x－8，g(x)＝3x，h(x)＝log2x在区间[1，2]上的平均变化率分别为________、________、__________． 解析　＝2，＝＝6， ＝＝1. 答案　2　6　1 [对应学生用书P34] 题型一　求函数的平均变化率 　(1)函数f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率为________． (2)函数f(x)＝ln x在区间[1，e]上的平均变化率为________． [自主解答]　(1)Δx＝2－1＝1，Δy＝f(2)－f(1)＝4＋＋4－(1＋1＋4)＝， ∴f(x)在[1，2]上的平均变化率为. (2)Δy＝f(e)－f(1)＝1. ∴＝， 即f(x)在[1，e]上的平均变化率为. [答案]　(1)　(2) 平均变化率的求解步骤 (1)确定区间[x1，x2](x1＜x2). (2)求出Δx＝x2－x1. (3)求出Δy＝y2－y1. (4)求出平均变化率＝. [触类旁通] 1．y＝2x＋1在[1，2]内的平均变化率为(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析　＝＝2. 答案　C 题型二　平均变化率的大小比较 　已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小． [自主解答]　因为＝＝2×3a，＝＝2，－＝log3，又a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6，因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 不同函数平均变化率大小的比较 计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小． [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝3x，分别计算这两个函数在区间[3，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解析　f(x)＝2x在区间[3，4]上的平均变化率为＝＝＝8.g(x)＝3x在区间[3，4]上的平均变化率为＝＝＝54. 由于8＜54，故f(x)在区间[3，4]上的平均变化率比g(x)小． 题型三　函数增长速度的应用(一题多变) 　(1)高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是(　　) (2)函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. ①请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； ②结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 024)，g(2 024)的大小． [自主解答]　(1)水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．故选B. (2)①C1对应的函数为g(x)＝x3， C2对应的函数为f(x)＝2x. ②因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)， f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2，9＜x2＜10， 所以x1＜6＜x2，2 024＞x2， 从图象上可以看出当x1＜x＜x2时， f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， 所以f(2 024)＞g(2 024). 又因为g(2 024)＞g(6)， 所以f(2 024)＞g(2 024)＞g(6)＞f(6). [答案]　(1)B　(2)略 [母题变式] (变条件)在本例(2)中，若将函数“f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第①题呢？ 解析　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x. [素养聚焦]　　本题主要考查指数函数及幂函数增长速度的比较，突出考查直观想象核心素养． 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． [触类旁通] 3．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解析　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)； 当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)； 当x＞x2时，g(x)＞f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 知识落实 技法强化 1．平均变化率的意义． 2．指数、对数函数与一元一次函数增长速率的比较． 几种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． (3)当要求增长速度比较均匀，常常选用一次函数模型． 学科网（北京）股份有限公司 $$