4.4 幂函数(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4．4　幂函数 学业标准 素养目标 1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(难点) 2．结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，总结幂函数的性质，并能简单应用．(重点) 1．通过从教材实例中抽象出幂函数的概念，学生主要培养数学抽象核心素养． 2．通过幂函数的性质的简单应用发展学生直观想象、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P30] 导学　幂函数的概念、图象和性质 　在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象分别如图所示． (1)它们的图象都过同一定点吗？ (2)上述五个函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？ [提示]　(1)是的，都过定点(1，1). (2)在(0，＋∞)内是增函数的有：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x.在(0，＋∞)内是减函数的是y＝x－1. ◎结论形成 1．幂函数的定义 函数y＝xα称为幂函数，其中__x__为自变量，__α__为常数． 2．幂函数的共同性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点__(1，1)__． (2)如果α＞0，则幂函数的图象通过__原__点，并且在区间[0，＋∞)上是__增函数__． (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是__减__函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地__逼近__y轴；当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方且无限地__逼近__x轴． [对应学生用书P31] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现．(　　) (2)当α＜0时，幂函数在R上是减函数．(　　) (3)当α＝0时，幂函数的图象是一条直线．(　　) (4)幂函数不一定具有奇偶性．(　　) 解析　(1)幂函数的图象不能出现在第四象限． (2)当α＝－1时，函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，在R上不是减函数． (3)函数y＝x0的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象是去除了一个点的直线． (4)如y＝x不具有奇偶性． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝2x2 解析　根据幂函数的定义知，y＝x2是幂函数，y＝－x2不是幂函数，y＝2x是指数函数，不是幂函数，y＝2x2不是幂函数． 答案　A 3．已知f(x)＝x3，f(1)＋f(a)＝0，则a＝________． 解析　因为f(1)＋f(a)＝0，所以13＋a3＝0， 所以a3＝－1，即a＝－1. 答案　－1 4．幂函数y＝x－的定义域为____________，其奇偶性是________________． 解析　因为y＝x＝，所以x＞0，所以函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是非奇非偶函数． 答案　(0，＋∞)　非奇非偶函数 [对应学生用书P31] 题型一　幂函数的概念 　(1)(多选题)下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝x　　　　　　 B．y＝x－2 C．y＝ D．y＝x (2)幂函数在(0，＋∞)上为增函数，则m的值是(　　) A．－1 B．3 C．－1或3 D．1或－3 [自主解答]　(1)根据幂函数的形式y＝xα，经观察可得B、D符合，故选BD. (2)∵f(x)为幂函数，∴m2－2m－2＝1， 解得m＝－1或m＝3； 当m＝－1时，f(x)＝x－1，则f(x)在上为减函数，不合题意； 当m＝3时，f(x)＝x7，则f(x)在上为增函数，符合题意； 综上所述，m＝3. [答案]　(1)BD　(2)B 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即①系数为1；②指数为常数；③后面不加任何项．反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式． [触类旁通] 1．(1)若幂函数f(x)经过点，且f＝8，则a＝(　　) A．2 B．3 C．128 D．512 (2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　) A．2 B．1　 C．　 D．0 解析　(1)设f(x)＝xα， 因为幂函数f(x)经过点， 所以f()＝()α＝3，解得α＝3， 所以f(x)＝x3. 所以f＝a3＝8，解得a＝2，故选A. (2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0， 即a＝1，b＝1，则a＋b＝2. 答案　(1)A　(2)A 题型二　幂函数的图象及应用(一题多变) 　(1)在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　) (2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是__________． (3)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限． [自主解答]　(1)对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中0＜a＜1，符合题意． (2)过原点的指数α＞0，不过原点的α＜0，所以n＜0，当x＞1时，在直线y＝x上方的α＞1，下方的α＜1，所以p＞1，0＜m＜1，0＜q＜1；x＞1时，指数越大，图象越高，所以m＞q.综上所述n＜q＜m＜p. (3)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限． 所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限． [答案]　(1)D　(2)n＜q＜m＜p　(3)四 [母题变式] (变结论)若本例(3)中条件不变，试确定使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值． 解析　α＝1，2，3时，函数y＝xα的定义域为R；当α＝2时，y＝xα为偶函数，当α＝1，3时y＝xα为奇函数．当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x∈R且x≠0}．当α＝ 时y＝x的定义域是{x|x≥0}． 综上，使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α＝1或3. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x2)来判断． [触类旁通] 2．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 解析　因为y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B. 答案　B 题型三　幂函数性质的简单应用 　(1)比较下列各组中两个数的大小： ①与； ②与； ③与. (2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0, ＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的范围． [自主解答]　(1)①∵幂函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，又＞，∴＞. ②∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 又－＜－，∴＞. ③∵函数y1＝在定义域内为减函数，且＞，∴＞. 又函数y2＝x在[0，＋∞)上是增函数，且＞，∴＞.∴＞. (2)∵函数在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，∴3m－9＜0，解得m＜3. 又m∈N*，∴m＝1或m＝2. ∵函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数，故m＝1. ∴有(a＋1)＜(3－2a) . ∵y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数， ∴a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1. [素养聚焦]　　本题考查幂函数单调性的应用，突出考查逻辑推理核心素养． 比较幂大小的三种常用方法 [触类旁通] 3．把下列各数按由小到大的顺序排列：2，，，. 解析　＜0，0＜＜1，2＞1，＞1， 而函数y＝x在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以有2＞. 故题中各数由小到大的顺序为 ＜＜＜2. 知识落实 技法强化 1．幂函数的定义． 2．幂函数的图象与性质． 1．在第一象限，幂函数的单调性由α的正负决定．当α＞0时，函数单调递增；当α＜0时，函数单调递减． 2．曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸． 学科网（北京）股份有限公司 $$