4.2.3 第1课时 对数函数的概念、对数函数的性质与图象(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4．2.3　对数函数的性质与图象 学业标准 素养目标 1．通过具体实例，了解对数函数模型，理解对数函数的概念．(难点) 2．探索并掌握对数函数的性质与图象，并能解决对数型函数的相关问题．(重点、难重) 1．通过学习对数函数的概念，发展学生数学抽象等核心素养． 2．通过对数函数性质和图象的探究及应用，提升学生逻辑推理、直观想象等核心素养． 第1课时　对数函数的概念、对数函数的性质与图象 [对应学生用书P19] 导学1　对数函数的概念 　我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x>0)是否表示y是x的函数？为什么？ [提示]　是．由对数的定义可知y＝log2x(x>0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x>0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x>0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞). ◎结论形成 函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a__＞__0且a__≠__1，__x__是自变量． 导学2　对数函数的图象与性质 　在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log5x，y＝logx，y＝logx的图象分别如图所示，说出这四个函数图象的特征． [提示]　(1)这四个图象都在y轴右侧，即定义域为(0，＋∞). (2)y＝log2x与y＝logx图象关于x轴对称，y＝log5x与y＝logx图象关于x轴对称． (3)函数y＝logx与y＝logx的图象从左到右是下降的，即函数的减区间为(0，＋∞). (4)这四个图象均过定点(1，0). ◎结论形成 对数函数的图象和性质 名称 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 __(0，＋∞)__ 值域 __(－∞，＋∞)__ 过定点 __(1，0)__，即当x＝1时，y＝__0__ 单调性 在(0，＋∞)上是__增函数__ 在(0，＋∞)上是__减函数__ 奇偶性 非奇非偶函数 [对应学生用书P20] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝loga(2x)(a＞0，且a≠1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝loga(x2－x＋1)(a＞0，且a≠1)的定义域为R.(　　) (3)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　) (4)函数y＝loga(x－1)的图象过定点(2，0).(　　) 解析　(1)对数函数自变量x的系数为1. (2)因为Δ＝1－4＝－3＜0，所以x2－x＋1＞0恒成立． (3)由对数函数的图象知正确． (4)由对数函数的图象和性质知正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为(　　) A．(－∞，－1)　　　　 B．[－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析　函数有意义需满足x＋1＞0，所以x＞－1. 答案　C 3．(多选题)函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　) A．5 B．2 C． D． 解析　因为函数y＝logax的图象一直上升， 所以函数y＝logax为单调增函数，所以a＞1. 答案　AB 4．若函数y＝log(2a－1)x是以x为自变量的对数函数，则a的取值范围是________． 解析　因为y＝log(2a－1)x是以x为自变量的对数函数， 所以解得a＞，且a≠1. 答案　∪(1，＋∞) [对应学生用书P20] 题型一　对数函数的概念 　(1)下列给出的函数： ①y＝log5 x＋1；②y＝loga x2(a>0，且a≠1)；③；④y＝log3 x； ⑤y＝logx (x>0，且x≠1)；⑥y＝logx. 其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤　　　　　　 B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)对数函数的图象过点(16，2)，则f(8)的值为__________． [自主解答]　(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3 x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确． (2)设对数函数的解析式为y＝loga x(a>0，且a≠1)，由已知可得loga 16＝2，即a2＝16， 解得a＝4，故函数解析式为y＝log4 x. 所以f(8)＝log48＝. [答案]　(1)D　(2) 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： ①系数为1； ②底数为大于0且不等于1的常数； ③对数的真数仅有自变量x. [触类旁通] 1．(1)(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A．y＝log8x　　　　　　 B．y＝ln x C．y＝logx D．y＝2log4x (2)已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________． 解析　(1)根据对数函数的定义，只有选项A，B中的函数是对数函数． (2)设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，因为函数f(x)的图象过点(8，－3)， 则－3＝loga8，∴a＝，∴f(x)＝logx， ∴f(2)＝log (2)＝－log2(2)＝－. 答案　(1)AB　(2)－ 题型二　对数型函数的定义域 　(1)下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 (2)求下列函数的定义域： ①y＝lg x＋lg (5－3x)； ②y＝logx(4－x)； ③y＝； ④y＝. [自主解答]　(1)只有C组定义域相同，故选C. (2)①由对数的定义可知⇒0＜x＜，所以该函数的定义域为； ②由对数的定义可知⇒0＜x＜4且x≠1， 所以该函数的定义域为(0，1)∪(1，4)； ③由对数的定义和二次根式的性质可知： ⇒⇒ ⇒＜x≤3， 所以该函数的定义域为； ④由对数的定义、二次根式的性质、分式的性质可知⇒x≥2且x≠，所以该函数的定义域为∪. [答案]　(1)C　(2)略 求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. [触类旁通] 2．求下列函数的定义域． (1)f(x)＝lg (x－2)＋； (2)f(x)＝logx＋1(16－4x). 解析　(1)要使函数有意义，需满足 解得x＞2且x≠3. ∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足解得－1＜x＜0或0＜x＜4. ∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4). 题型三　对数函数的图象问题(一题多变) 　(1)y＝ln (1－x)的图象大致为(　　) (2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． [自主解答]　(1)由1－x＞0知x＜1，排除A，B；函数在定义域(－∞，1)为减函数，故选C. (2)因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． [答案]　(1)C　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)本例(2)条件不变，试写出函数f(x)＝loga|x|的值域及单调区间． 解析　由本例(2)的图象知f(x)的值域为R，递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0). 2．(变条件)若把本例(2)中的函数改为y＝log5|x＋1|，请画出它的图象． 解析　利用图象变换来解题，画出函数y＝log5|x|的图象，将函数y＝log5|x|的图象向左平移1个单位，即可得函数y＝log5|x＋1|的图象，如图所示． [素养聚焦]　　对数函数图象的识图、用图问题中重点提升直观想象核心素养． 有关对数型函数图象问题的应用技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). (2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． [触类旁通] 3．(1)函数f(x)＝ax－3＋loga(x－2)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，则定点A的坐标为____________． (2)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A．x2＜x3＜x1　　　　 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1 解析　(1)当x＝3时，f(3)＝a0＋loga1＋1＝2，所以定点A的坐标为(3，2). (2)分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x2＜x3＜x1. 答案　(1)(3，2)　(2)A [缜密思维提能区]　规范答题 求函数解析式、定义域、值域 [典例]　(13分)已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)，求函数y＝f(x)的解析式、定义域及值域． [审题指导]　合理恒等变形求出y＝f(x)的解析式，注意定义域． [规范解答]　因为lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)， 所以即(3分) 又lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)＝lg [3x(3－x)]， 所以lg y＝3x(3－x)， 所以y＝103x(3－x).(5分) 因为0＜x＜3， 所以3x(3－x)＝－3＋∈，(8分) 所以y＝103x(3－x)∈(1，10]，满足y＞1.(11分) 所以函数y＝f(x)的解析式为y＝103x(3－x)，定义域为(0，3)，值域为(1，10].(13分) 知识落实 技法强化 1．对数函数的概念． 2．对数函数的性质与图象． 研究对数函数时应注意的两点 1．往往先求对数函数的定义域． 2．若底数不确定，需对底数分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$