4.2.2 对数运算法则(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4．2.2　对数运算法则 学业标准 素养目标 1．会推导对数的运算性质．(难点) 2．掌握对数的运算性质并化简、求值．(重点) 3．会用换底公式进行对数运算．(重点) 1．通过推导对数的运算性质、换底公式，发展逻辑推理等核心素养． 2．通过对数的运算，主要提升学生数学运算核心素养． [对应学生用书P15] 导学1　对数的运算法则 　对数与指数概念之间的联系，决定了对数运算与指数运算之间的密切相关性，据此试证明： loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0). [提示]　设α＝logaM，β＝logaN，则aα＝M，aβ＝N. ∴aα·aβ＝aα＋β＝MN， 即loga(MN)＝α＋β＝logaM＋logaN. ◎结论形成 对数的运算法则 (1)loga(MN)＝__logaM＋logaN__． (2)logaMα＝__αlogaM__． (3)loga＝__logaM－logaN__． 其中，a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R. ●点睛 (1)对于法则(1)可以推广loga(M1M2…Mn)＝logaM1＋logaM2＋…＋logaMn(其中Mi＞0). (2)对数运算法则的前提是M＞0，N＞0，否则不成立，如log3[(－4)×(－5)]＝log3(－4)＋log3(－5)不成立． 导学2　换底公式 　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ [提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x， 又因为x＝，所以得出log35＝的结论． ◎结论形成 对数换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). ●点睛 对数换底公式常见的两种变形 (1)logab·logba＝1，即＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2)＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍． [对应学生用书P16] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，MN>0).(　　) (3)＝log2＝1.(　　) (4)log2(－3)2＝2log2(－3).(　　) 解析　(1)令x＝y＝1，则lg (x＋y)＝lg 2>lg 1＝0，而lg x＋lg y＝0，不成立． (2)例如对于(－2)×(－3)>0，loga[(－2)×(－3)]≠loga(－2)＋loga(－3)，因为loga(－2)和loga(－3)没有意义． (3)等式的左边＝＝≠log2. (4)log2(－3)没有意义． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．计算：log123＋log124＝(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　log123＋log124＝log12(3×4)＝log1212＝1. 答案　A 3．计算：2log510－log54＝________． 解析　2log510－log54 ＝log5102－log54 ＝log5＝log525＝2. 答案　2 4．计算：log23·log34＝________． 解析　log23·log34＝·＝＝2. 答案　2 [对应学生用书P16] 题型一　对数运算法则的应用(一题多解) 　计算下列各式的值： (1)log2＋log224－log284； (2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [自主解答]　(1)解法一　原式＝log2 ＝log2＝－. 解法二　原式＝log2＋log2(23×3)－log2(22×3×7)＝log27－log2(25×3)＋3＋log23－1－log23－log27＝－×5－log23＋2＋log23＝－＋2＝－. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3. 对数的运算性质在解题中的两种应用 [触类旁通] 1．(一题多解)计算下列各式的值． (1)lg －lg ＋lg ； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 解析　(1)解法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. 解法二　原式＝lg －lg 4＋lg (7)＝lg ＝lg (×)＝lg ＝. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 题型二　换底公式的应用(一题多解　一题多变) 　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)； (2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示). [自主解答]　(1)解法一　原式＝ ＝ ＝log25·(3log52) ＝13log25·＝13. 解法二　原式＝ ＝ ＝×＝13. (2)解法一　因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝＝ ＝＝. 解法二　因为＝log189＝a，所以lg 9＝a lg 18， 同理得lg 5＝b lg 18， 所以log3645＝＝＝ ＝＝. [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)条件不变，如何求log1845(用a，b表示)? 解析　log1845＝log185＋log189＝b＋a. 2．(变条件)若将本例(2)条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，结论不变，如何求？ 解析　因为9b＝5，所以log95＝b， 所以log3645＝＝＝. 换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． [触类旁通] 2．(1)已知3a＝4，b＝log23，则ab＝________；4b＝________． (2)已知log142＝a，用a表示. 解析　(1)由3a＝4得a＝log34，又b＝log23， ∴ab＝log34·log23＝·＝2，4b＝＝9. (2)∵log142＝a，∴log214＝. ∴1＋log27＝.∴log27＝－1. 由对数换底公式，得 ∴＝2log27＝2＝. 答案　(1)2　9　(2)略 题型三　对数运算的综合应用 　(1)通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0.其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． (2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. ①求p的值； ②证明：－＝. [自主解答]　(1)由M＝lg A－lg A0可得，M＝lg ，即＝10M，A＝A0·10M， 当M＝8时，地震的最大振幅为A8＝A0·108； 当M＝5时，地震的最大振幅为A5＝A0·105； 所以两次地震的最大振幅之比是： ＝＝108－5＝1 000. 所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍． (2)①设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0，且k≠1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·， 因为log3k≠0，所以p＝2log34＝4log32. ②证明　－＝－ ＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝. [答案]　(1)1 000　(2)略 [素养聚焦]　　本题考查指数与对数运算的综合应用，突出考查数学运算素养． 解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数t，用t表示其他变量． [触类旁通] 3．(一题多解)设3x＝4y＝36，求＋的值． 解析　解法一　∵3x＝36，4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436. ∴＝＝＝log363， ＝＝＝log364. ∴＋＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1. 解法二　对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2.∴＝log63，＝log62. ∴＋＝log63＋log62＝log66＝1，即＋＝1. 知识落实 技法强化 1．对数的运算法则． 2．对数换底公式及常见变形． 1．运用对数的运算法则应注意成立的条件，如当x＞0时，才有logax2＝2logax. 2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，“lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式． 学科网（北京）股份有限公司 $$