4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第2课时　指数函数的性质与图象的应用 [对应学生用书P9] 导学　指数函数图象间的关系 　当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对任意一个实数x0，什么时候ax0＞bx0？什么时候ax0＜bx0？什么时候＝? [提示]　由图象可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，＞； x0∈(－∞，0)，＜；x0＝0，＝； ②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，＞； x0∈(－∞，0)，＜；x0＝0，＝. 综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，＞； x0∈(－∞，0)，＜；x0＝0，＝. ◎结论形成 1．对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： (1)当x＜0时，0＜__ax＜bx__＜1. (2)当x＝0时，ax＝bx＝1. (3)当x＞0时，__ax＞bx__＞1. 2．对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： (1)当x＜0时，__ax＞bx__＞1. (2)当x＝0时，ax＝bx＝1. (3)当x＞0时，0＜__ax＜bx__＜1. [对应学生用书P9] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1.(　　) (2)对于任意的x∈R，一定有3x＞2x.(　　) (3)y＝3是刻画指数增长变化规律的函数模型．(　　) (4)若ax－1＞a2，则x＞3.(　　) 解析　(1)由指数函数的单调性可知正确． (2)由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x≤0时，3x≤2x. (3)y＝3是刻画指数衰减变化规律的函数模型． (4)当a＞1时，x＞3；当0＜a＜1时，x＜3. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　) A．y1＞y2＞y3　　　　 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 解析　∵y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5， ∴y1＞y3＞y2，故选B. 答案　B 3．若＜，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B． C．(－∞，1) D． 解析　函数y＝在R上为减函数， 所以2a＋1＞3－2a，所以a＞. 答案　B 4．函数y＝的单调增区间为________． 解析　y＝＝2x－1， 故函数的增区间为(－∞，＋∞). 答案　(－∞，＋∞) [对应学生用书P9] 题型一　指数函数单调性的应用(题点多探　多维探究) 角度1　比较幂的大小 　(1)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　 B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b (2)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的关系为(　　) A．m＋n＜0 B．m＋n＞0 C．m＞n D．m＜n [自主解答]　(1)a＝0.771.2，0＜a＜1， b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1，则a＜c＜b，故选C. (2)因为0＜＜1， 所以f(x)＝ax＝在R上单调递减， 又因为f(m)＞f(n)，所以m＜n，故选D. [答案]　(1)C　(2)D 比较幂值大小的三种类型及处理方法 角度2　解简单指数不等式 　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a＞0，且a≠1). [自主解答]　当0＜a＜1时，2x＋1≥x－5，解得x≥－6； 当a＞1时，2x＋1≤x－5，解得x≤－6， 所以当0＜a＜1时，不等式的解集为[－6，＋∞]； 当a＞1时，不等式的解集为(－∞，－6]. 解简单的指数不等式往往先化成af(x)＞ag(x)的形式，若a的取值不确定，需分类讨论． 角度3　函数y＝af(x)的单调性 　判断的单调性，并求最值． [自主解答]　令u＝x2－2x， 则原函数变为y＝. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增，且y＝在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x＝1时，函数取得最大值，为＝3，无最小值． 研究y＝af(x)型函数的单调性时，要注意是a＞1，还是0＜a＜1： ①当a＞1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同； ②当0＜a＜1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相反． [触类旁通] 1．(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　　 B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c (2)已知函数，则f(x)的单调递增区间是________． (3)若，求x的范围． 解析　(1)因为a＝20.3，c＝＝22.5， 所以c＞a＞1. 又因为b＝0.32＜1，所以c＞a＞b. 故选D. (2)因为函数，则f(x)的单调递增区间即为y＝x2－2x的单调递增区间． 易知y＝x2－2x的单调递增区间为[1，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为[1，＋∞). (3)当a>1时，原不等式等价为x2－3x＋2>0， 解得x>2或x<1. 当0<a<1时，原不等式等价为x2－3x＋2<0. 解得1<x<2. 综上所述，当a>1时，x的范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)； 当0<a<1时，x的范围是(1，2). 答案　(1)D　(2)[1，＋∞)　(3)略 题型二　指数函数模型的应用 　某地区2014年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2025年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7，1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7). [自主解答]　设平均每年新增住房面积为x万平方米， 则≥7， 解得x≥≈82.27， 即平均每年新增住房面积至少为83万平方米． [答案]　83 [素养聚焦]　　本题主要考查指数函数的实际应用，突出考查数学建模核心素养． 在实际问题中，经常遇到指数增长(衰减)模型：设原有量为N，每次的增长(衰减)率为P，经过x次增长(衰减)，该量增长(衰减)到y，则y＝N(1±p)x，(x∈N).此类函数是刻画指数增长或(衰减)变化规律的非常有用的函数模型． [触类旁通] 2．某罐头厂2024年4月份平均日产量为20万罐，因销售量增大，工厂从5月份起扩大产能，6月份平均日产量达到45万罐，则该厂日产量的月平均增长率是________． 解析　设罐头厂日产量的月平均增长率是x，依题意得20(1＋x)2＝45，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不符合题意，舍去)，则该厂日产量的月平均增长率是50%. 答案　50% 题型三　指数函数性质的综合应用(一题多变) 　已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝. (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域． [自主解答]　(1)∵∴根据题意得解得 故a，b的值分别为－1，0. (2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数． [母题变式] (变结论)本例条件不变，若f(x)－2m≥0对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为____________． 解析　由本例解答知，f(x)的最小值为2，要使f(x)－2m≥0恒成立，即f(x)≥2m恒成立，只需2m≤2即可，解得m≤1. 答案　(－∞，1] 解决指数函数性质的综合问题应关注的两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质． [触类旁通] 3．设a＞0，f(x)＝＋是定义在R上的偶函数． (1)求a的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 解析　(1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋a·3x， ∴＝0对一切x∈R恒成立． 由此可得a－＝0，即a2＝1.又a＞0，∴a＝1. 知识落实 技法强化 1．比较幂的大小． 2．探究函数y＝af(x)的单调性、值域． 3．解形如af(x)＞ag(x)的不等式． 1．探究y＝af(x)与y＝f(ax)的性质时，要注意换元法的应用． 2．在解决指数函数模型的应用问题的过程中，大多需要根据条件列出方程，进而求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$