对数与对数函数讲义-2025届高三数学一轮复习

第5节 对数与对数函数 【课标要求】 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 2.通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 3.知道对数函数与指数函数互为反函数。 教学目标： 1.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.掌握对数函数的背景、概念及性质。了解指数函数与对数函数互为反函数． 教学重点：对数运算及对数函数的性质及应用 教学难点：对数运算法则正确应用及对数函数的性质综合应用 教学过程： 1． 知识梳理： 1.对数及对数运算 (1)对数的概念：一般地，如果，则数b叫做________,记作___________,其中a叫做____________N叫做_____ 以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N.以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N. （2）对数的性质：①零和负数___对数 ；②，③ ④对数恒等式⑤=_____ （3）对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①=_____________________②=_____________________; ③=________________ （4）对数换底公式： 两个常用的推论:①② （a,b>0且均不为1） 2. 对数函数 （1）对数函数的定义：________________________________________. （2）对数函数的图象与性质 对数函数 a a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 过定点 函数值区域 单调性 （3）指数函数与对数函数互为_____，其图象关于________________________.底数大于1) 底 数 大 于0 小于 1 ) 底 数 越 来 越 大 底数越来越小 y=logx y=logx y=logx y=1 y=log, o d⁹ x=1 （4）底数对对数函数y=log,x(a>0 且a≠1) 的图象的影响 (5)对数函数的图象变换 ①函数y=loga(x+b)由对数函数经过平移变换可以得到 ②函数|的翻折变换 ③函数的对称变换 （6） 对数方程与对数不等式 ①同底的对数方程： 不同底的指数形式：化为同底，型：换元法 ②同底的对数形式：借助对数函数的单调性，得到关于真数的不等式 或 不同底的对数形式：运用对数运算法则，化为同底的对数形式 2． 考点强化 考点一：对数运算 例1. 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 方法梳理：解决对数运算问题的常用方法 (1)重视指数式与对数式的互化(2)利用对数的运算法则进行（3）不同底的对数式利用换底公式化成同底的对数式进行计算，注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 对点练习：1.计算：（1）log535＋2－log5－log514 （2） 2.设2a＝5b＝m，且＋＝2，求m的值 3.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，求a,b的值。 4.（2024年全国甲卷理15题）已知a>1且，则a=______ 答案：1.（1）2 （2） 2. 3.b＝2，a＝4. 4.64 考点二：对数函数 命题点1：对数函数的图象及其应用 例2.（1）若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图像可以是(　　) （2）当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是______ 解析　(1)由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.又y＝loga(|x|－1)是偶函数， 定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞). ∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图像由y＝logax的图像向右平移一个单位得到. 因此选项D正确. 由题意，易知a>1. (2)在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图像. 若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2. 根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图像恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图像，a的取值范围是(1，2]. 方法梳理：1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解. 对点练习：1.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 2.已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则＋ln x2的值为(　　) A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2 C．2 D．4 3.若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为 ． 答案：1.A 2. C 3. 命题点2：对数函数的性质及其应用 例3.（人教A版新教材必修1P14113题）比较下列三个值的大小 （1）， ， （2），， （3）log63，log126，log2412 例4.(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上是减少的，则a的取值范围为______. (2)函数的定义域为_______ (3)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是_____________ 方法梳理：1对数函数的问题，一定要注意定义域的限制； 2..在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 对点练习：1.判断下列函数是否为反函数，并求出它们的定义域与值域 （1）与 （2）与 2.(2024天津卷5）若，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 3.(2024新课标1卷6）已知函数为在上单调递增，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 4.已知函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________. 5.(2024北京卷卷9）　已知，，，是函数的图象上两个不同的点，则　　 A． B． C． D． 6.（2020•全国1卷）若，则（ ） A. B. C. D. 答案：1.两个都是互为反函数 2.B 3.B 4.[1，＋∞) 5.B 6. B 学科网（北京）股份有限公司 $$