6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第3课时　习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用 人教A版 数学 必修第二册 重难探究·能力素养全提升 探究点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 【例1】 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若bsin A=3csin B, a=3,cos B= ,则b=(　　) D 规律方法　正弦定理、余弦定理解三角形的求解策略 应用正弦定理、余弦定理解决三角形问题,关键是根据已知条件对边和角进行相互转化,化简表达式,通过代数变形或三角恒等变换解决问题. 变式训练1△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B= 4csin C,cos A= =(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 A 探究点二　正弦定理、余弦定理与平面向量的综合 规律方法　求解平面向量与三角形集合问题时的注意点 B 探究点三　与三角形面积相关的计算 (1)求BC边的长; (2)求四边形ABCD的面积. 规律方法　 变式训练3设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cos B= ,b=2. (1)当A=30°时,求a的值; (2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值. 探究点四　三角形中的最值与范围问题 【例4】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)-1 =4cos Bcos C. (1)求cos A的值; (2)若a=3,求△ABC面积的最大值. 变式探究在本例(2)中,若条件不变,求△ABC的周长的取值范围. 规律方法　三角形中最值(范围)问题的求解策略 解决与三角形的面积有关的最值或范围问题时,应选取适当的面积公式,结合正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的知识,将问题转化为求函数的最值或范围,进而予以解决. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)利用正弦定理、余弦定理解三角形. (2)正弦定理、余弦定理与平面向量的综合应用. (3)三角形面积公式的相关计算. (4)三角形中的最值与范围问题. 2.方法归纳:转化化归、数形结合. 3.常见误区:运用正弦定理、余弦定理在转化过程中统一化边或是化角. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2= bc, sin C=2 sin B,则A=(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点四]在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为( +1)∶2,则最大角为(　　) A.45° B.60° C.75° D.90° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点四·2023湖北武汉期中]已知△ABC满足AB=2AC,BC=4,则△ABC面积的最大值为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点一]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=60°,bsin C= ,且△ABC的面积为2 ,则b=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点三·2023重庆沙坪坝模拟]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A=sin 2B,且b≠c. (1)求证:a2-b2=bc; (1)证明 ∵sin A=sin 2B,∴sin A=2sin Bcos B, 则a2(c-b)=b(c2-b2), 又b≠c,故a2=b(c+b),即a2-b2=bc. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC= 3acos B-ccos B. (1)求cos B的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 (1)由正弦定理,得sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B, 可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B. 又sin A≠0,因此cos B= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(多选题)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a-2ccos B=c,则下列结论正确的是(　　) A.b2=c(a+c) B.B=2C ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.如图,若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60,则cos A=　　　　　,该圆的直径长度为　　　　.  0 65 解析 由余弦定理得BD2=392+522-2×39×52cos C,BD2=252+602-2×25×60cos A,∵A+C=180°,∴cos C=-cos A,∵(392-252)-(602-522) +2×39×52cos A+2×25×60cos A=0,∴cos A=0. ∵0°<A<180°,∴A=90°,∴BD2=392+522=652,∴BD=65. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求A; (2)若b=1,求c的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,∠BAD= ,2AB=BD=4. (1)求cos∠ADB; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 问题:已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C=2sin B, b=2,　　　　,求△ABC的面积.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cos C+cos Acos B= 2 sin Acos B. (1)求cos B的值; (2)若a+c=2,求b的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.14 B.6 C. D. 解析 由bsin A=3csin B及正弦定理,得ab=3bc,即a=3c.因为a=3,所以c=1.由余弦定理,得b=. -,则 解析 由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论可得 cos A==-,所以=-,整理得=6. 【例2】 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,cos B=,a=7,且 =-21,求角C的大小. 解 ∵=-21,∴=21, ∴=||||cos B=accos B=21. 又cos B=,∴sin B=,ac=35.又a=7,∴c=5. ∴b2=a2+c2-2accos B=72+52-2×7×5×=32, ∴b=4. 由正弦定理,得sin C=sin B=. ∵c<b,∴C一定是锐角,∴C=45°. 利用正弦定理、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时,注意数量积定义的应用,其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系,例如的夹角等于内角A的补角. 变式训练2在△ABC中,AB=2,AC=3,=3,则BC=(　　) A. B. C. D. 解析 由AB=2,AC=3,=3,得cos A=.又BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A =22+32-2×2×3×=7.故BC=,故选B. 【例3】 如图,在四边形ABCD中,AC=CD=AB=1,=1,sin∠ACD=. 解 (1)由=||||·cos∠BAC,得cos∠BAC=. 由于0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°. 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =22+12-2×2×1×=3, 所以BC=. (2)由(1)知AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC. 四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD=AC·BC+AC·CDsin∠ACD=×1××1×1×. (2)因为S△ABC=acsin B,所以ac=3,ac=, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 所以4=a2+c2-ac=a2+c2-9, 故a2+c2=13,则(a+c)2-2ac=13, 所以(a+c)2=28,故a+c=2. 解 (1)在△ABC中,因为cos B=,所以sin B=. 又A=30°,利用正弦定理,得a=. 解 (1)由已知,得2cos Bcos C+2sin Bsin C-1=4cos Bcos C,所以2cos Bcos C-2sin Bsin C=-1,即2cos(B+C)=-1,因此-2cos A=-1,故cos A=. (2)由(1)得A=.因为a=3,所以由正弦定理,得=2, 从而b=2sin B,c=2sin C,于是△ABC的面积S=bcsin A=×2sin B·2sin C·sin=3sin Bsin C. 因为A=,所以B+C=,于是C=-B,且0<B <,因此S=3sin B sin=3sin B·(cos B+sin B)=sin 2B+sin2B=sin 2B+cos 2B=sin. 因为0<B<,所以-<2B-,故当2B-,即B=时,△ABC的面积S取最大值. 解 由例4(1)得A=.因为a=3,所以由正弦定理,得 =2, 从而b=2sin B,c=2sin C,于是△ABC的周长L=a+b+c=3+2sin B+2sin C=2(sin B+sin C)+3. 因为A=, 所以B+C=,于是C=-B,且0<B <. 因此L=2+3=2(sin B+cos B+sin B)+3 =6+cos B·+3=6sin+3. 因为0<B<,所以<B+, 所以6<6sin+3≤9, 即△ABC的周长的取值范围是(6,9]. 解析 由sin C=2sin B可得c=2b,由余弦定理得cos A=,所以A=30°,故选A. 2.[探究点一]若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,b=2,且△ABC的面积为,则a= (　　) A.3 B.4 C. D.3 解析 ∵A=,b=2,且△ABC的面积为, ∴bcsin A=,即×2×c×,解得c=.又a2=b2+c2-2bccos A =12+3-2×2×-=21,∴a=.故选C. 解析 依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以,解得tan A=1,所以A=45°,C=75°. A. B. C. D. 2　 解析 由正弦定理可得,即csin B=bsin C, 又B=60°,则c=,解得c=2. 又S△ABC=absin C=a=2,解得a=4, 则由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=16+4-2×4×2×=12,则b=2. (2)若b+c=a,且△ABC的外接圆半径为,求△ABC的面积. 由正弦定理、余弦定理可得a=2b·, (2)解 由得b2+bc=(b+c)2,则有 由余弦定理得,cos B=,则sin B=. 因为△ABC的外接圆半径为, 所以b=2×sin B==2, 则a=,c=3, 所以S△ABC=acsin B=. (2)若=2,且b=2,求a和c的值. (2)由=2,得accos B=2. 由(1)知cos B=,故ac=6, 由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12, 所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=. 8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60°,b=1,△ABC的面积为,则=(　　) A. B. C. D. 解析 由题意得△ABC的面积S=bcsin A=,∴c=4.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A=13,∴. C.<sin C< D.1<<2 11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=2,c=2,则B=　　　　　,△ABC的面积S△ABC=　　　　　.  　 2 解析 由及正弦定理,得,tan B=,∵B∈(0,π),∴B=. 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,又b=2,c=2, ∴a2-2a-8=0,解得a=4,或a=-2(负值舍去), S△ABC=acsin B=×4×2×=2. 12.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,ccos= sin A(acos B+bcos A). 解 (1)由题意,sin Csin=sin A(sin Acos B+sin Bcos A)=sin Asin C. 因为C∈(0,π),所以sin C≠0, 所以sin=sin A=2sincos. 因为A∈(0,π),所以∈0,,所以sin≠0, 所以cos,即,则A=. (2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,又b=1,A=,所以a2=c2+1-c. △ABC是锐角三角形,由C为锐角,得a2+b2-c2>0,把a2=c2+1-c代入,得2-c>0,c<2. 由B为锐角,得a2+c2-b2>0,把a2=c2+1-c代入,得2c2>c,由c>0,得c>, 故c∈,2. (2)若BC=,求CD. 解 (1)在△ABD中,由余弦定理的推论,得cos∠BAD=,即-, 解得AD=(AD=-舍去). 故cos∠ADB=. (2)由(1)得sin∠ADB=. 因为AD⊥CD,即∠ADC=, 所以cos∠BDC=cos-∠ADB=sin∠ADB=. 根据余弦定理的推论,得cos∠BDC=, 即, 解得CD=3(CD=-舍去),故CD=3. 14.在①(b+a)(b-a)=c(b-c);②=4;③sin(+2A)+2cos2=1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 解 因为sin C=2sin B,b=2,所以c=2b=4. 选①:因为(b+a)(b-a)=c(b-c), 所以b2+c2-a2=bc,所以cos A=. 又因为A∈(0,π),所以A=. 所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×4×=2. 选②:若=4,则||·||cos A=4, 故cos A=.因为A∈(0,π),所以A=. 所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×4×=2. 选③:若sin+2A+2cos2=1,则cos 2A+cos A=0, 故2cos2A+cos A-1=0,解得cos A=(cos A=-1舍去). 因为A∈(0,π),所以A=. 所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×4×=2. 解 (1)因为cos C+cos Acos B=2sin Acos B, 所以-cos(A+B)+cos Acos B=2sin Acos B, 即sin Asin B=2sin Acos B, 因为sin A≠0,所以sin B=2cos B>0, 又因为sin 2B+cos 2B=1,解得cos B=. (2)∵a+c=2,可得c=2-a, 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(2-a)2-a(2-a)=(a-1)2+. ∵0<a<2,∴≤b<2,∴b的取值范围为. $$