4.2.2指数函数的图象和性质（1）课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第1课时　指数函数的图象和性质（1） 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点　指数函数的图象与性质 表达式 y＝ax(a＞1) y＝ax(0＜a＜1) 图象 定义域 R 值域 ________ 性质 函数的图象过点________，即a0＝1 是R上的________ 是R上的________ 　(0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数 状元随笔　底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a ＞1时，指数函数的图象是 “上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)指数函数的图象都在y轴上方．(　　) (2)因为a0＝1(a＞0且a≠1)，所以函数y＝ax恒过(0，1)点．(　　) (3)若指数函数y＝mx是减函数，则0＜m＜1.(　　) (4)函数y＝3x的图象在函数y＝2x图象的上方．(　　) × × √ √ 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 答案：B 解析：y＝2－x＝是(－∞，＋∞)上的单调递减函数． 3．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1] 答案：A 解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0. 4．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点，则它的坐标为________． (2，1) 解析：令x－2＝0，即x＝2时，y＝1，∴函数y＝ax－2的图象恒过定点(2，1)． 题型探究 课堂解透 题型1　指数型函数的定义域和值域 例1　求下列函数的定义域和值域． (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝. 解析：(1)要使函数有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数y＝的定义域为{x|x≠4}．因为≠0，所以≠1，即函数y＝的值域为{y|y>0且y≠1}． (2)要使函数有意义，则x2－2x≥0，∴x≤0或x≥2， ∴函数的定义域为{x|x≤0或x≥2}， 由于≥30＝1，即y≥1， ∴函数的值域为[1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则x－1≠0，∴x≠1， ∴函数的定义域为{x|x≠1}， 由于＝＝1＋≠1， ≠2且 >0，即y>0且y≠2. ∴函数的值域为(0，2) 方法归纳 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a＞0且a≠1)： (1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y＝af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af(x)的值域； (3)求函数y＝f(ax)的定义域，需先确定y＝f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即u＝ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，得y＝f(ax)的定义域； (4)求函数y＝f(ax)的值域，需先利用函数u＝ax的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数y＝f(u)的值域，即为y＝f(ax)的值域． 跟踪训练1　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(－3，0] B．(－3，1] C．(－∞，－3)∪(－3，0] D．(－∞，－3)∪(－3，1] (2)函数f(x)＝的值域是________． A (0，1] 解析：(1)由题意知 解得－3<x≤0，故函数f(x)的定义域为(－3，0].故选A. (2)令t＝|x＋1|，则t≥0，∴0<≤1，故函数f(x)＝的值域是(0，1]. 题型2　指数函数的图象 角度1　图象过定点 例2　已知函数f(x)＝a2x－1＋2(a为常数，且a＞0，a≠1)，无论a取何值，函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(0，1)　　　B．(1，2) C．(1，3)　　　D．() 答案：D 解析：因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，1)，所以2x－1＝0，即x＝，此时y＝3.所以函数f(x)＝a2x－1＋2恒过定点(). 方法归纳 解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a＞0，a≠1)的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b). 角度2　指数函数的底与其图象的关系 例3　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A.a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 答案：B 解析：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1，0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.故选B. 方法归纳 设a＞b＞1＞c＞d＞0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴． 角度3　有关指数函数图象的识别 例4　二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可以是(　　) 答案：D 解析：根据指数函数的解析式为y＝可得>0， ∴－<0，故二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴直线x＝－位于y轴的左侧，排除A，C选项，对于选项B，由二次函数图象可得a<0，且函数图象与x轴交点的横坐标－<－1，∴>1，则指数函数应该单调递增，故B不正确．故选D. 方法归纳 识别与指数函数图象有关问题应把握三点： (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a＞1或0＜a＜1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型． 跟踪训练2　(1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 答案：C 解析：(1)由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C. (2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是(　　) 答案：B 解析： (2)需要对a讨论： ①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0<a<1时，f(x)＝ax过原点且斜率小于1，g(x)＝ax是减函数，显然B正确．故选B (3)设函数f(x)＝3ax＋1－1(a＞0且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝________． 1 解析： (3)令x＋1＝0，即x＝－1时，此时f(－1)＝2.∴m＝－1，n＝2，∴m＋n＝－1＋2＝1. 题型3　指数函数图象的综合应用 例5　若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个不同的交点，求a的取值范围． 解析：作出y＝2a和y＝|ax－1|的图象．当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图①所示．由已知，得0<2a<1，所以0<a<.   当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图②所示． 由已知，得0<2a<1，所以0<a<，这与a>1矛盾．综上可知，0<a<. 方法归纳 数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想，对于不易求解的方程解的个数问题，常构造函数，转化为函数图象的交点问题来解决． 跟踪训练3　若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是___________． [－1，1] 　解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可知：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]. 易错辨析　换元法求函数的值域时，忽略新元的取值范围致误 例6　求函数f(x)＝＋＋1的值域． 解析：令＝t＞0， 则原函数可化为f(t)＝t2＋t＋1＝＋， 因为f(t)＝＋在(0，＋∞)上是增函数， 所以f(x)＞1，即函数f(x)的值域是(1，＋∞). 易错警示 易错原因 纠错心得 换元时，t＝＞0，而不是t∈R，若误认为t∈R，则有f(x)∈[,＋∞]. 求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，最后转化为f(t)的值域． 课堂十分钟 1．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0) 答案：A 解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数， 此时f(x)＝4＋1＝5，即点P的坐标为(－1，5)． 2．已知函数g(x)＝3x＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A．t≤－1 B．t＜－1 C．t≤－3 D．t≥－3 答案：A 解析：由指数函数的性质，可得函数g(x)＝3x＋t恒过点坐标为(0，1＋t)，函数g(x)是增函数，图象不经过第二象限，∴1＋t≤0，解得t≤－1. 3．函数y＝ax－ (a＞0，a≠1)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：∵a>0，∴>0，∴函数y＝ax需向下平移个单位，不过(0，1)点，所以排除A，当a>1时，∴0<<1，所以排除B，当0<a<1时，∴>1，所以排除C. 4．函数y＝的定义域为________． [-1，＋∞) 解析：由题意，函数y＝有意义，则满足10x－0.1≥0，即10x≥0.1，解得x≥－1， 所以函数的定义域为. 5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2,)，其中a＞0且a≠1. (1)求a的值； (2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域． 解析：(1)因为函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2,)， 所以f(2)＝a2－1＝a＝. (2)由(1)得f(x)＝ (x≥0)， 因为函数在[0，＋∞)上是减函数， 所以当x＝0时，函数取最大值2， 故f(x)∈(0，2]， 所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)∈(1，3] 故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，3]. $$