4.2.2指数函数的图象与性质(2)课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2课时　指数函数的图象与性质(2) 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点一　比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用____________的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用_____________的变化规律来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断． 指数函数 指数函数图象 中间值 要点二　解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解． (2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为________________，再借助y＝ax的________求解． (3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 单调性 以a为底的指数幂 单调性 要点三　指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有________的定义域． (2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__________的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性________． 相同 相同 相反 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y＝ax(a＞0且a≠1)的最小值为0.(　　) (2)y＝21－x是R上的增函数．(　　) (3)若0.1a＞0.1b，则a＞b.(　　) (4)由于y＝ax(a＞0，且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也构不成具有奇偶性的函数．(　　) × × × × 2．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ B．y＝|x| C．y＝2x D．y＝x3 答案：D 解析：y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C. 3．下列判断正确的是(　　) A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53 C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5 答案：D 解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2， 所以0.90.2＞0.90.5. 4．函数y＝2|x|的单调递减区间是________． (－∞，0] 解析：函数y＝2|x|的图象如图．由图可知，函数y＝2|x|的单调递减区间是 (－∞，0]. 题型探究 课堂解透 题型1　指数函数单调性的应用 角度1　比较大小 例1　(1)(多选)下列各组数的大小比较不正确的是(　　) A．1.52.5＜1.53.2 B．0.6－1.2＞0.6－1.5 C．1.50.3＞0.81.2 D．0.30.4＜0.20.5 答案：BD 解析：(1)A中，函数y＝1.5x在R上是增函数，∵2.5<3.2， ∴1.52.5<1.53.2，A正确；B中，函数y＝0.6x在R上是减函数， ∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5，B不正确；C中，由指数函数的性质，知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2，C正确；D中，在同一直角坐标系内，画出y＝0.3x，y＝0.2x两个函数的图象，由图象得0.30.4>0.20.5，D不正确．故选BD. (2)比较下列各值的大小：，， 解析：(2)先根据幂的特征，将这4个数分类：①负数：；②大于1的数：，；③大于0且小于1的数：.②中，<< (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，故有<<<. 方法归纳 比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的特征，或引入中间数进行比较． 角度2　解简单的指数不等式 例2　(1)不等式3x－2＞1的解集为________． (2)若ax＋1＞ (a＞0且a≠1)，求x的取值范围． 答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析 解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞). (2)因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3. 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3. 综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)， 当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞). 方法归纳 解与指数相关的不等式的策略 底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解． 跟踪训练1　(1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，则a、b、c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b (2)解不等式≤3. 答案：(1)C　(2)见解析 解析： (1)因为函数y＝x0.1在(0，＋∞)上为增函数，则a＝20.1>0.30.1＝c， 指数函数y＝0.3x为R上的减函数，则b＝0.33<0.30.1＝c. 因此，b<c<a. (2)＝≤3，∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1，解得x≥1或x≤－1，∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}． 题型2　与指数函数有关的复合函数的单调性 例3　(1)函数y＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) 答案：D 解析：(1)设u＝，则y＝3u，对任意的0<x1<x2，有u1>u2. 又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝在(0，＋∞)上是减函数． 对任意的x1<x2<0，有u1>u2，又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝在(－∞，0)上是减函数．所以函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞).故选D. (2)求函数y＝的单调区间． 解析：设y＝au，u＝x2＋2x－3， 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数， ∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1)，减区间为[－1，＋∞). 方法归纳 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝判断函数f(x)的单调性． 解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 题型3　指数函数性质的综合应用 例4　已知函数f(x)＝1－ (2b－6＜x＜b)是奇函数． (1)求a，b的值； 解析：(1)函数f(x)＝1－ (2b－6＜x＜b)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)恒成立，即1－＝－1＋， 整理得(a－2)(3x＋1)＝0， 所以a＝2， 因为2b－6＋b＝0，解得b＝2， 所以a＝2，b＝2. (2)证明：f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数； 证明：由(1)得f(x)＝1－，x∈(－2，2)， 设任意取x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝＝， 因为x1＜x2，所以，所以＞0， 而＋1＞0， 所以>0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数． (3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围． 解析：f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，所以f(m－2)＞－f(2m＋1)， 因为函数f(x)是奇函数，所以f(m－2)＞f(－2m－1)， 因为函数f(x)是区间(－2，2)上的减函数， 所以实数m的取值范围是(0,). 方法归纳 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧． (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行． (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论． 跟踪训练3　已知函数f(x)＝()·x3. (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； 解析：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). (2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称． 令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x). ∵g(－x)＝＝ ＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)， ∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)， ∴f(x)＝(＋)·x3为偶函数． (3)证明：f(x)＞0. 证明：当x>0时，2x>1， ∴2x－1>0，∴＋>0. ∵x3>0，∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0. 易错辨析　忽视对指数函数的底数分类讨论致误 例5　若函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　　) A．　　　　B． C．或2　　　D．或 解析：当a＞1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a， 故有a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去). 当0＜a＜1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a，最小值为a2， 故有a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去). 综上，a＝或a＝. 答案：D 易错警示 易错原因 纠错心得 忽视对底数a分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论，误认为最大值为a2，最小值为a，由a2－a＝，解得a＝，漏掉了另一种情况致误． 由于指数函数的单调性，根据底数与1的大小关系判断，因此涉及含参数的指数函数单调性问题时要根据底数与1的大小关系分类讨论． 课堂十分钟 1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 答案：C 解析：因为40.1>1，0.40.8<0.40.5<1，所以a>b>c. 2．设f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 答案：D 解析：因为f(－x)＝＝＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 又当x＞0时，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数， 3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在[-2,1]上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为(　　) A． B．或C． D．或 答案：D 解析：函数f(x)＝ax在上： 当0<a<1时，f(x)单调递减，最大值为f(－2)＝a－2＝4，最小值f(1)＝a＝m，即有m＝； 当a>1时，f(x)单调递增，最大值为f(1)＝a＝4，最小值f(－2)＝a－2＝m，即有m＝； 综上，有m＝或m＝. 4．不等式23－2x＜0.53x－4的解集为________． {x|x<1} 解析：原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}． 5．已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[0，3]上的值域． 解析： (1)函数y＝的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数． 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]. (2)由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝，所以f(x)的值域为[，2]. 所以，解得0＜m＜， $$