2.4圆的方程同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4圆的方程同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册 一、单选题 1．已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与交于点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 10．已知直线，，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，为坐标原点，则（    ） A．直线过定点，直线过定点 B． C．的最小值为7 D．若，，则恒满足 11．已知直线，设两直线分别过定点，直线和直线的交点为为坐标原点，则（    ） A．直线过定点，直线过定点 B． C．的最小值为7 D．若，则恒满足 三、填空题 12．已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 13．.已知是圆上的一点，则的最小值是 14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 四、解答题 15．已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 16．已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于D，E两点，求四边形的面积. 17．在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 18．如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2.设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上.以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.    (1)当点恰好为路面中点时，求此时圆的方程； (2)记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值. 19．在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.    (1)求曲线的方程； (2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； (3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】利用中点坐标公式及圆心与直径的位置关系即可求解. 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 2．D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 3．D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4．A 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 5．C 【分析】根据方程表示圆的条件可得结果. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 6．D 【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 7．D 【分析】根据得点为圆上动点，用三角换元求的最大值. 【详解】由题意可得直线恒过坐标原点，直线恒过定点， 且，所以， 所以与的交点在以为直径的圆上， 则点的坐标满足（不含点）． 可设，且， 则， 所以当时，的最大值为． 故选：D 8．B 【分析】分析可知，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解. 【详解】如下图所示： 圆的圆心为原点，半径为， 因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点， 由垂径定理可知，，则， 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动， 则. 当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B. 9．BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 10．AB 【分析】直线方程化简为点斜式，可确定判断A；可判断B；根据在以为直径的圆上，可确定的最小值；根据D，可写出点轨迹方程，与题意冲突，可判断D. 【详解】对于A：可化作，可发现过定点， 同理，过定点，A正确； 对于B：因为，所以恒成立， 因此是以为直径的圆上的点，根据定义，，B正确； 对于C：由题可知的中点为，， 所以在圆上，所以，C错误； 对于D：设，若，则， 化简可得：，与的方程不符合，D错误． 故选：AB． 11．AB 【分析】对于A，直接由直线过定点即可判断；对于B，证明即可；对于C，求出圆P的方程，通过几何关系即可得解；对于D，可以设，若，求出点的轨迹方程，然后看和点P的方程是否一样即可. 【详解】对于A，可化作，可发现过定点，同理，过定点，A正确； 对于B，因为，所以恒成立，因此是以为直径的圆上的点，根据定义，，B正确； 对于C，由题可知、的中点为，，所以在圆上，所以，C错误； 对于D，设，若，则，化简可得，与的方程不符合，D错误． 故选：AB. 12． 【分析】设的外接圆方程为，然后将三个点的坐标代入求解即可. 【详解】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 13． 【分析】即求圆上动点到点的距离的最小值，求出点到圆心的距离即可得出. 【详解】表示圆上的动点到点的距离， 由可化为，则圆心为，半径为， 点到圆心的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 即的最小值是. 故答案为：. 14． 【分析】由题意设，结合距离新定义以及辅助角公式即可得解. 【详解】由题意，不妨设， 则M，N两点的“曼哈顿距离”为， 所以，当且仅当等号成立， 即当且仅当，即， 综上所述，M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）求线段的中点，且斜率不存在，写出方程； （2）解法一：由题意，设，将点代入得方程； 解法二：求出直线与直线的交点为圆心，可得方程. 【详解】（1）因为点，， 所以线段的中点为 因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在. 所以垂直平分线的方程为； （2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为， 又因为点，在上，所以， 解得， 所以的标准方程为. 解法二：因为直线与直线的交点为圆心， 由，解得， 故圆心. 又因为. 所以的标准方程为. 16．(1) (2)30 【分析】（1）设，由可得a值，则圆心坐标可求，再利用两点之间的距离公式求半径即可得圆的标准方程； （2）先证得四边形是平行四边形，再结合点到直线的距离公式以及圆的性质可得答案. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设， 由A，B是圆上两点，所以， 即，解得， 所以圆心的坐标为. 圆的半径， 故圆的方程为. （2）过点作的垂线，垂足为，则为线段的中点， 由点到直线的距离公式，得， 所以. 因为，，所以， 直线的方程为. 而直线的方程为，所以，且， 由此得四边形是平行四边形. 因为，之间的距离， 所以平行四边形的面积为， 故四边形的面积为30. 17．(1) (2) 【分析】（1）通过题意求出点坐标和直线的斜率即可求解； （2）根据四边形为平行四边形求出点坐标，又由得，从而半径为，进而写出圆的标准方程. 【详解】（1）因为为中点，，，所以． 因为四边形为平行四边形，所以， 由，，得， 所以．由知直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即所求直线的方程为． （2）因为四边形为平行四边形，且，，， 设，由得解得， 又由得，且， 所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为． 18．(1) (2) 【分析】 （1）以O为原点，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心，根据圆心C到A，P的距离相等得到，再由圆心在直线PQ上联立求解. （2）由（1）知，当时，灯罩轴线所在直线方程为，易得；当时，设灯罩轴线所在方程为：，令得到，然后由，利用基本不等式求解. 【详解】（1） 则， ∴直线的方程为． 设，则，两式相减得：， 又，解得， ∴． 所以圆的方程为. （2） 由（1）知， 当时，灯罩轴线所在直线方程为，此时 当时，灯罩轴线所在方程为：， 令可得，即， ∵H在线段OQ上，∴，解得． ∴， 当且仅当即时取等号． ∴的最大值为． 19．(1) (2) (3)存在，定点为 【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程. （2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程. （3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标. 【详解】（1）设，由得， 化简得，则曲线的方程为；    （2）由题意知，设， 依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得， 则，所以(舍去)或，即， 则， 则直线方程为；    （3）设直线方程为，设， 联立方程，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则直线始终经过此定点.    【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$