专题01有理数的十种运算技巧-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

专题01有理数的十种运算技巧 题型01归类法 【典例分析】 【例1-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：； 【例1-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 【例1-3】（23-24七年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）（1）计算：；         （2）计算： 【变式1-2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中） 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 题型02凑整法 【典例分析】 【例2-1】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算：； 【例2-2】（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： 【例2-3】（23-24七年级上·广东惠州·期中）计算：． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·四川成都·期中）计算：； 【变式2-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：． 【变式2-3】．（23-24七年级上·北京西城·期中）计算： (1)； (2)； 题型03对消法 【典例分析】 【例3-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：； 【例3-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 【例3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：； 【变式3-2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算：； 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：； 题型04组合法 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算题： 【例4-2】（21-22七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算：； 【例4-3】（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算： ； 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算：； 【变式4-2】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题． 【变式4-3】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 题型05分解法 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算： ． 【例5-2】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：． 【例5-3】（23-24七年级上·山西朔州·期中）阅读下题中的计算方法，解决问题． (1) 解：原式 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的拆项法可将拆为_________，拆为_________． (2)类比上述计算方法计算： ． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）求的值． 【变式5-2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算：； 【变式5-3】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： 题型06变序法 【典例分析】 【例6-1】（24-25七年级上·河北石家庄·开学考试）计算： 【例6-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：； 【例6-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）计算：． 【变式6-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：； 【变式6-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各式：； 题型07逆用法 【典例分析】 【例7-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：； 【例7-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：； 【例7-3】（24-25七年级上·河北石家庄·开学考试）计算： 【变式演练】 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【变式7-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： ． 题型08观察法 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）计算： 【例8-2】（23-24七年级上·山西晋中·期中）计算：． 【例8-3】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中） 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【变式8-2】（23-24七年级·安徽宿州·阶段练习）计算：． 【变式8-3】（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算 题型09倒序相加法 【典例分析】 【例9-1】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则．② ①②，得． （①②两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） 所以，．③ 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” 请你运用上述方法计算：一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车票 ． 【例9-2】（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）计算： 【例9-3】（20-21六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1+2+3+…+100， ① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1+2+3+…+101； (2)猜想：1+2+3+…+n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000． 【变式演练】 【变式9-1】（22-23七年级上·广西南宁·期中） 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： 计算：_________； 【变式9-2】（七年级上·河北保定·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设S＝1+2+3+…+100  ① 则S＝100+99+98+…+1   ② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）， ＝， ＝100×101， 所以，S＝③， 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题． （1）计算：1+2+3+…+101； （2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　； （3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000． 方法1： 方法2： 【变式9-3】（20-21七年级上·河北衡水·期中）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程 解：设，① 则，② ①+②，得． （两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） ∴，③ ∴． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想________（用含的代数式表示）； （3）计算：． 题型10倒数法 【典例分析】 【例10-1】（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用简便方法计算：． 【例10-2】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算：． 【例10-3】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【变式演练】 【变式10-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算：； 【变式10-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【变式10-3】．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数的十种运算技巧 题型01归类法 【典例分析】 【例1-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． 去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】 ； 【例1-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． 去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】 ． 【例1-3】（23-24七年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）（1）计算：；         （2）计算： 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式1-2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中） 【答案】 【分析】本题考查有理数加减混合运算，涉及有理数加减运算法则，熟记相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法．解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．此题可以运用加法的交换律交换加数的位置，原式可变为，然后利用加法的结合律将两个加数相加． 【详解】解：， ， ， ． 题型02凑整法 【典例分析】 【例2-1】（21-22七年级上·广东汕头·期中）计算： ； 【答案】-1 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法的运算律，解题的关键是∶ 先去括号，然后利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可； 【详解】解∶原式 【例2-2】（23-24七年级上·山东淄博·开学考试）请用适当的方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律、有理数加法运算律等知识点，灵活运用相关运算律成为解题的关键． 运用加法交换律进行简便运算即可； 【详解】解： 【例2-3】（23-24七年级上·广东惠州·期中）计算：． 【答案】 【分析】解：本题考查了有理数的加法运算，利用加法交换律和结合律进行运算即可得出结果，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·四川成都·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算． 运用加法结合律可简便运算； 【详解】 ． 【变式2-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的加法运算律计算，即可求解； 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键 【变式2-3】．（23-24七年级上·北京西城·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算以及加法运算律和乘法运算律，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则，结合加法运算律计算即可； 【详解】（1）解： ； ）解： ； 题型03对消法 【典例分析】 【例3-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：； 【答案】0 【分析】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．先算同分母分数，再相加即可求解； 【详解】 解： ； 【例3-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式1、3项结合，2、4项结合，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【例3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： 【答案】5.5 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键．首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】解： ． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数加法交换律和结合律运算计算即可； 【详解】解： ； 【变式3-2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算：； 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律进行计算即可； 【详解】 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．先算同分母分数，再相加即可求解； 【详解】 （2） ； 题型04组合法 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算题： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算：根据有理数的加减计算法则求解即可； 【详解】解：原式 ； 【例4-2】（21-22七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算：； 【答案】34 【分析】本题考查了有理数的混合运算：利用加法交换律进行简便运算即可； 【详解】解：原式 ； 【例4-3】（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算： ； 【答案】； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． 先把减法统一成加法，再利用加法的交换律和结合律计算； 【详解】原式   【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了加法运算律、乘法运算律、含乘方的有理数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．先把小数化成分数，然后按照加法交换律进行简便运算即可； 【详解】解： ． 【变式4-2】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．去掉括号，将同分母分数结合，原式可化为，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】原式 【变式4-3】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，先化为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律把分母相同的两个数先加即可． 【详解】解： ． 题型05分解法 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】 【例5-2】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算：通过观察可知分子分母的差为1，先写成1加减分数单位，整数分组计算，分数简算时，根据裂项公式先拆分，再简算． 【详解】）解：原式 ． 【例5-3】（23-24七年级上·山西朔州·期中）阅读下题中的计算方法，解决问题． (1) 解：原式 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的拆项法可将拆为_________，拆为_________． (2)类比上述计算方法计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算； （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解： 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）求的值． 【答案】 【分析】把每一项拆成两个分数的差的形式，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题是规律探索问题及其应用，考查有理数的混合运算，寻找到规律是解题的关键 【变式5-2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算：； 【答案】 【分析】依据“拆项法”计算即可； 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握“拆项法”是解答本题的关键． 【变式5-3】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】依据“拆项法”计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握“拆项法”是解答本题的关键． 题型06变序法 【典例分析】 【例6-1】（24-25七年级上·河北石家庄·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除的混合运算，根据运算法则将除法转化为乘法，再利用乘法运算律简便计算即可． 【详解】解： ． 【例6-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律． 根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算； 【详解】解： ； 【例6-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算． 【答案】 60 【分析】本题考查了分数四则混合运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．分数连乘能约分的先约分． 【详解】 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，关键是运用加法的运算律，结合律使运算简便．利用乘法交换律计算即可． 【详解】解： 【变式6-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法，熟记乘法法则是解题的关键．根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可； 【详解】 ； 【变式6-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各式：； 【答案】6 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号．先确定符号，再用约分即可得答案； 【详解】 题型07逆用法 【典例分析】 【例7-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；逆用分配律把原式化为，再计算即可； 【详解】解： ； 【例7-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；逆用分配律把原式化为，再计算即可； 【详解】解： ； 【例7-3】（24-25七年级上·河北石家庄·开学考试）计算： 【答案】20190 【分析】本题考查乘法分配律，运用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式演练】 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；逆用乘法分配律计算即可； 【详解】解： ； 【变式7-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：． 【答案】 【分析】逆用乘法的分配律运算即可． 【详解】解： ； 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： ． 【答案】3 【分析】逆用乘法的分配律运算即可． 【详解】解： ． 题型08观察法 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后运算加减，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：原式． 【例8-2】（23-24七年级上·山西晋中·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．注意计算的准确性．利用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 【例8-3】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及分数的乘除运算、乘方运算、整数的加减运算和的值等，掌握有理数的混合运算法则，混合运算顺序，熟练运用是解决问题的关键． 根据整式的加减乘除混合运算法则，再由混合运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，先将乘方运算、的值求出来再运算即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘除，再加减即可，熟知计算法则是解题的关键。 【详解】解：原式， 【变式8-2】（23-24七年级·安徽宿州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、负整数指数幂以及零指数幂，再计算乘法和除法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式8-3】（23-24七年级上·广东湛江·期中）计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先化简绝对值和计算括号里的，再从左往右依次进行计算即可得； 掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型09倒序相加法 【典例分析】 【例9-1】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则．② ①②，得． （①②两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） 所以，．③ 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” 请你运用上述方法计算：一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车票 ． 【答案】 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类，正确找出数字的变化规律是解题的关键．根据题意，一条沿途有n个站点的高铁线上，则单向行驶的“和谐号”列车需要种车票，根据“倒序相加法”即可求解． 【详解】解：由题意得：需要种车票， 设①， 则②， ①②，得．（①②两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于个n的和）， ， ， 故答案为：． 【例9-2】（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）计算： 【答案】885 【分析】原式整理结合后，计算即可得到结果． 【详解】解：设， 则， 上下两式相加得， 所以， 即 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，正确运用倒序相加法是解答本题常用方法 【例9-3】（20-21六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1+2+3+…+100， ① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1+2+3+…+101； (2)猜想：1+2+3+…+n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000． 【答案】(1)5151 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果； （3）根据（2）中结论即可得到结果． 【详解】（1）解：设S＝1+2+3+…+100+101① 则S＝101+100+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102． 所以，S＝， 所以，1+2+3+…+100+101＝5151； （2）解：解：设S＝1+2+3+…+n① 则S＝n+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n． 猜想：1+2+3+…+n＝， 故答案为：； （3）解：1001+1002…+2000=． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值 【变式演练】 【变式9-1】（22-23七年级上·广西南宁·期中） 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： 计算：_________； 【答案】 【分析】发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值 【详解】解：设① 则② ①+②，． 所以，， 所以，， 故答案为：； 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 【变式9-2】（七年级上·河北保定·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设S＝1+2+3+…+100  ① 则S＝100+99+98+…+1   ② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）， ＝， ＝100×101， 所以，S＝③， 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题． （1）计算：1+2+3+…+101； （2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　； （3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000． 方法1： 方法2： 【答案】（1）5151；（2），（3）见解析. 【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果； （3）根据题目中的例子可以用两种方法求出所求式子的值 【详解】（1）设S＝1+2+3+…+101①， 则S＝101+100+…+3+2+1②， ①+②，得 2S＝102+102+102+…+102＝101×102， ∴S＝＝5151， 即1+2+3+…+101＝5151； （2）猜想：1+2+3+…+n＝， 故答案为：； （3）方法一：1001+1002+…+2000 ＝（1+2+3+…+2000）﹣（1+2+3+…+1000） ＝﹣ ＝2001000﹣500500 ＝1500500； 方法2：设S＝1001+1002+…+2000， 则S＝2000+1999+…+1001， 两式相加，得 2S＝1000×3001， 则S＝＝1500500， 即1001+1002+…+2000＝1500500． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值 【变式9-3】（20-21七年级上·河北衡水·期中）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程 解：设，① 则，② ①+②，得． （两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） ∴，③ ∴． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想________（用含的代数式表示）； （3）计算：． 【答案】（1）20100；（2）；（3）2036160 【分析】（1）先把1-200个数分别从小加到大，再从大加到小，然后两列数分别相加，可以得到200个201，算得200个201的和后再除以2即得1-200各数的和； （2）由（1）及题目例题的解析可得解答； （3）把101+102+103+⋯+2020 看成1+2+3+⋯+2020的和减去1+2+3+⋯+100 的和，再利用（2）所得代数式计算即可得到答案 ． 【详解】解：（1）设① 则②， ①+②，得， 所以，， 所以； （2）由（1）及题目例题的解析可得： ； （3） =2041210-5050 【点睛】本题考查数字类规律探索，通过阅读题目材料和例题总结出计算规律，再把所得规律应用于新问题的解决是解题关键 题型10倒数法 【典例分析】 【例10-1】（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 【例10-2】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 【例10-3】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 【变式演练】 【变式10-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．先将除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式10-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 【变式10-3】．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析 (3)另一部分的结果为 (4) 【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可； （2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便； （3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可； （4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可． （1） 解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2） 解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3） 解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4） 解： ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$