第01讲 菱形的性质与判定（3个知识点+5种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01讲 菱形的性质与判定（3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点2．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点3．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　 （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 题型强化 题型一．菱形的性质 1．（2024春•旬阳市期末）如图，在菱形中，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•曲靖期末）菱形的对角线，，则的长为 　　． 3．（2024•瑞安市二模）如图，在菱形中，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 题型二．菱形的判定 4．（2024春•潼关县期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•富锦市期末）如图，在中，对角线、相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使是菱形． 6．（2024•高青县校级一模）如图，在中，，点关于的对称点为，连接，．求证：四边形是菱形． 题型三．菱形的判定与性质 7．（2024•碑林区校级模拟）如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点、，若，，则的长为　　 A．4 B． C． D． 8．（2024春•平原县期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　　． 9．（2024春•东昌府区校级期末）如图，已知点，分别是的边，上的中点，且； （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 题型四、利用菱形的性质证明 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列命题错误的是（　　） A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相平分 C．菱形的对角线互相垂直 D．菱形的四个角都相等 11．（23-24九年级上·广东揭阳·开学考试）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，，交于点O，则图中的菱形共有 个． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）在菱形中，，是对角线上一点，是线段的延长线上一点，且，连接，．如图1，当点是线段的中点时，易证． (1)如图②，当点E不是线段的中点，其他条件不变时，请你判断结论：________；（填“成立”或“不成立”） (2)如图③，当点E是线段的延长线上一点，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 题型五、根据菱形的性质与判定求角度 13．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则 度．    15．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）在平行四边形内有一点E，使得，作点E关于直线的对称点F，连接，． (1)依题补全图形； (2)若，求的大小（用含有的式子表示）； (3)用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 分层练习 一、单选题 1．如图，下列条件中不能使成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 2．增加了下述条件，仍不能判定平行四边形是菱形的是（　　） A．邻边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 3．如图，为菱形的对角线，已知，（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 4．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得之间的距离为，点之间的距离为，则线段的长（　　） A． B． C． D． 5．若菱形的周长为，两邻角的度数之比为，则菱形的较短对角线的长为（　　） A． B． C． D．cm 6．如图，在菱形中，，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 7．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，点，之间的距离为，则四边形面积为(    )    A．20 B．24 C．28 D．48 8．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　） A．16 B．16 C．32 D．32 二、填空题 11．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则A，C两点间的距离为 ． 12．如图，四边形是平行四边形．请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形．（只填一种情况即可）    13．菱形两对角线之比是，它们的差是，则菱形的两条对角线的长分别是 ． 14．在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 15．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为 ． 16．如图，在菱形中，，，是对角线的交点，在边上任取一点E，连接，在边上取一点F，使，则 ，四边形的面积为 ． 17．如图，四边形是平行四边形，过点A作于点E，于点F，连接，下列说法：①若，则平行四边形是菱形；②若是等边三角形，则；③若平行四边形是菱形，则．其中说法正确的是 ．（只需填写正确结论的序号） 18．如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则 ． 三、解答题 19．图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． (1)在图①中画一个四边形（点、在小正方形的顶点上），使四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； (2)在图②中画一个四边形（点、在小正方形的顶点上），使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为4． 20．如图，在菱形中，，对角线．若过点作，垂足为，求的长． 21．指出下列命题中的真命题，对于假命题，分别给出一个反例． ①两邻边相等的四边形是菱形； ②一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形； ③对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形； ④对角线垂直的四边形是菱形． 22．如图所示，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，求的度数．    23．如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. (1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为菱形； (3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 24．如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 25．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 26．是等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AD，连接BD，交AC于点O，连接CD，过点A作于点P，交BD于点E，连接 (1)如图1，当时，则______； (2)如图2，当时，依题意补全图 ①猜想中结论是否仍然成立，并说明理由； ②求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 菱形的性质与判定（3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点2．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点3．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　 （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 题型强化 题型一．菱形的性质 1．（2024春•旬阳市期末）如图，在菱形中，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角求出，再由平行线的性质即可得到答案． 【解答】解：四边形是菱形，， ，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键． 2．（2024春•曲靖期末）菱形的对角线，，则的长为 　　． 【分析】由菱形的性质得，，，再由菱形的面积求出，则，然后由勾股定理求出的长即可． 【解答】解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理，由菱形的面积求出的长是解题的关键． 3．（2024•瑞安市二模）如图，在菱形中，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，进而利用证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， 于点，于点， ， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，， ． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，解答． 题型二．菱形的判定 4．（2024春•潼关县期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可． 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定理是解题的关键． 5．（2024春•富锦市期末）如图，在中，对角线、相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　（答案不唯一）　，使是菱形． 【分析】根据菱形的判定方法即可得出答案． 【解答】解：四边形为平行四边形， 当或或平分时，四边形为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定方法是解题的关键． 6．（2024•高青县校级一模）如图，在中，，点关于的对称点为，连接，．求证：四边形是菱形． 【分析】先根据关于的对称点为，得出，，结合，得出，因为对角线互相平分且相等的四边形即为菱形，即可作答． 【解答】解：如图，连接交于， 关于的对称点为， 垂直平分， ，， ， 是等腰三角形 ， 四边形是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，轴对称的性质，抓钱舞记忆相关知识点是解题关键． 题型三．菱形的判定与性质 7．（2024•碑林区校级模拟）如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点、，若，，则的长为　　 A．4 B． C． D． 【分析】连接，因为，，，可证四边形为菱形，从而得到、的长，进而解答即可． 【解答】解：连接． 在直角三角形中，，，根据勾股定理，得． ，平分， ， 垂直平分，． ． ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 由勾股定理得出， ， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形是关键． 8．（2024春•平原县期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　　． 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与求出菱形的边长，然后利用菱形的面积底高计算即可． 【解答】解：纸条的对边平行，即，， 四边形是平行四边形， 两张纸条的宽度都是3， ， ， 平行四边形是菱形，即四边形是菱形． 如图，过作，垂足为， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键． 9．（2024春•东昌府区校级期末）如图，已知点，分别是的边，上的中点，且； （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，，得出，即可得出结论； （2）连接交于点，解直角三角形求出，由三角形中位线定理求出，得出，菱形的面积，即可得出结果． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 在中，，点是边的中点， ， 同理，， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图： ，，，， ， 四边形是菱形； ，， 是的中位线， ， ， 菱形的面积为． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理、菱形的面积公式；熟练掌握菱形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 题型四、利用菱形的性质证明 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列命题错误的是（　　） A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相平分 C．菱形的对角线互相垂直 D．菱形的四个角都相等 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握这些性质是本题的关键． 根据菱形的性质求解即可． 【详解】A、菱形的四条边都相等，正确，故选项不符合题意； B、菱形的对角线互相平分，正确，故选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，正确，故选项不符合题意； D、菱形的对角相等，但四个角不一定都相等，原说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 11．（23-24九年级上·广东揭阳·开学考试）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，，交于点O，则图中的菱形共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定．根据四边形是菱形，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，即可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，E，F，F，H分别是菱形四边的中点， ∴， ∴四边形和均为菱形，共5个． 故答案为：5． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）在菱形中，，是对角线上一点，是线段的延长线上一点，且，连接，．如图1，当点是线段的中点时，易证． (1)如图②，当点E不是线段的中点，其他条件不变时，请你判断结论：________；（填“成立”或“不成立”） (2)如图③，当点E是线段的延长线上一点，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)成立 (2)结论成立．证明见解析 【分析】（1）过点作交于点，求证和全等即可找到和的数量关系； （2）过点作交延长线于点，同理求证和全等即可找到和的数量关系． 【详解】（1）解：结论成立． 证明：过点作交于点，如图所示． 四边形为菱形， ，，， ，， ． ， 是等边三角形， ，． ， ． ， 是等边三角形， ， ，． ， ， ， ． 故答案为：成立． （2）解：结论成立． 证明：过点作交延长线于点，如图所示． 四边形为菱形， ． ， 是等边三角形， ，， ． ， ． ， 是等边三角形， ，， ，． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键． 题型五、根据菱形的性质与判定求角度 13．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 14．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则 度．    【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，根据题意判断出四边形是菱形是解答此题的关键． 15．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）在平行四边形内有一点E，使得，作点E关于直线的对称点F，连接，． (1)依题补全图形； (2)若，求的大小（用含有的式子表示）； (3)用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）依题补全图形即可； （2）根据轴对称的性质及已知条件证明四边形是菱形，设，利用平行线的性质证明，进而得出，再根据，结合三角形内角和定理可得； （3）作于点M，于点N，根据勾股定理可得，利用等腰三角形“三线合一”可得，，再证，推出，即可推导得出． 【详解】（1）解：补全后图形如下图所示： （2）解：如图，连接，，连接交于点G． 点E点F关于直线对称， ，，， 又， 四边形是菱形， 设，则， 平行四边形中，， ，即， ， ， ，，， ， ， 即； （3）解：，证明如下： 如图，作于点M，于点N， ，， ，， 同理，，， ， 在和中， ， ， ． 在中，由勾股定理得， ， 即． 【点睛】本题考查轴对称的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是综合运用上述知识，正确作出辅助线，构造． 分层练习 一、单选题 1．如图，下列条件中不能使成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、四边形是平行四边形，且， ∴是菱形，故不符合题意； B、四边形是平行四边形，且， ∴是菱形，故不符合题意； C、四边形是平行四边形，且， ∴是菱形，故不符合题意； D、四边形是平行四边形，且，不能判定是菱形，故符合题意， 故选：D． 2．增加了下述条件，仍不能判定平行四边形是菱形的是（　　） A．邻边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；逐项判断即可． 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形不一定是菱形，故此选项错误，符合题意； D、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，为菱形的对角线，已知，（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的性质，直接利用菱形的性质可得的度数，利用角平分线的性质进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得之间的距离为，点之间的距离为，则线段的长（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作，过点作，根据平行四边形的判定与性质可知，再根据菱形的性质与判定可知，，，最后利用勾股定理即可解答．本题考查了平行三边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作，过点作， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 故选：． 5．若菱形的周长为，两邻角的度数之比为，则菱形的较短对角线的长为（　　） A． B． C． D．cm 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质与等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据已知可求得菱形的边长，由菱形的性质可求得其较小的一个内角为，从而得到较短的对角线与菱形的两边组成一个等边三角形，则较短的对角线等于其边长． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为， 设菱形两邻角的度数为，，则， 解得：， ∴菱形的一锐角为， 则较短对角线与菱形的两边组成等边三角形， 较短对角线的长等于菱形的边长， ∴菱形较短对角线的长等于， 故选：B． 6．如图，在菱形中，，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的面积等于其对角线积的一半即可解题． 【详解】解：四边形是菱形，对角线，， ， 故选：B． 7．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，点，之间的距离为，则四边形面积为(    )    A．20 B．24 C．28 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：解：如图，作于，于，连接，交于点，    由题意知，， 四边形是平行四边形． 两张纸条等宽， ． ， ， 平行四边形是菱形， ，之间的距离为，点，之间的距离为， 四边形面积为 故选：B． 8．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的四边都相等，可证得四边形是菱形，又由等边的顶点、分别在、上，且，可设，根据三角形的内角和定理得出方程，解此方程的解即可求出答案． 【详解】解：四边形的四边都相等， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形，， ，， ，， 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ， ， 解得：， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 9．已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，向量，根据大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化． 【详解】解：如图， ①由菱形图象可知，的大小，方向一样，故，①正确； ②这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确； ③，， ，故③正确； ④，， ，， 成立，④正确， 综上所述，正确的有：①②③④， 故选：D． 10．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　） A．16 B．16 C．32 D．32 【答案】D 【分析】证是等腰直角三角形，得，，再证是等腰直角三角形，得，，设，则，求出，则，，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， 设，则， 的周长为8， ， 解得：， ，，， ， ， ， 菱形的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明为等腰直角三角形． 二、填空题 11．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，连接，由题意得出四边形是菱形，由菱形的性质可得，证明出是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形， ∴，四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即两点间的距离为2， 故答案为：2． 12．如图，四边形是平行四边形．请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形．（只填一种情况即可）    【答案】（符合题意即可) 【分析】根据菱形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形． ∴添加，则可得为菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 故答案为：（符合题意即可) 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 13．菱形两对角线之比是，它们的差是，则菱形的两条对角线的长分别是 ． 【答案】和 【分析】本题考查了菱形，二元一次方程组的应用．理解题意，列出方程是解题的关键． 设两对角线为，，由菱形两对角线之比是则，由它们的差是，则，列出二元一次方程组为，求解即可． 【详解】解：设两对角线为，，由题意可得 ， 解得：， ∴菱形的两条对角线的长分别是和． 14．在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质，平行线有性质，难度一般． 利用菱形以及等边三角形的性质，设，用表示出和，利用平行线的性质得，求解得，即，进而可求的度数． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，、分别在、上，且是等边三角形，， ，，， 设，则， 故，则， 在菱形， ，， ， ， 解得：，即， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键．连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为6的菱形，， ，是等边三角形， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为． 16．如图，在菱形中，，，是对角线的交点，在边上任取一点E，连接，在边上取一点F，使，则 ，四边形的面积为 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查菱形性质、含角的直角三角形性质和割补法求面积的相关内容，根据菱形性质和得为等边三角形即可求得答案；根据菱形性质得到点G到的距离相等，由已知得可证明≌则有面积相等，再利用直角三角形性质可以求得边长，根据割补法有即可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 过点G作交于点K，作交于点H，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴≌， 则， ∵， ∴在中，，得，， ∴，， 则， 故答案为：8；． 17．如图，四边形是平行四边形，过点A作于点E，于点F，连接，下列说法：①若，则平行四边形是菱形；②若是等边三角形，则；③若平行四边形是菱形，则．其中说法正确的是 ．（只需填写正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】利用平行四边形的面积，若，则，即可由菱形的判定得出平行四边形是菱形，可判定①正确；由是等边三角形，得，由四边形内角和可求得，再利用菱形的性质求出，可判定②正确；利用菱形的面积，可得出，再利用等腰三角形的性质可得出，可判定③正确． 【详解】解：①∵， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故①正确； ②是等边三角形， ， 又，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，故②正确； ③∵平行四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，四边形内角和，熟练掌握等边三角形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． 18．如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则 ． 【答案】30° 【分析】由菱形的性质得出AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD⊥BC，由翻折变换的性质得：=∠D=60°，求出∠CME==30°，即可得出的度数． 【详解】解：连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AD'刚好过BC的中点P， ∴AD⊥BC， ∴∠D'PC=90°， 由翻折变换的性质得：=∠D=60°， ∴∠CME=∠PMD'=30°， ∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°； 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的性质是解题关键． 三、解答题 19．图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． (1)在图①中画一个四边形（点、在小正方形的顶点上），使四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； (2)在图②中画一个四边形（点、在小正方形的顶点上），使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为4． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查格点作图，轴对称图形和中心对称图形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．掌握相关定义和定理，是解题的关键； （1）构造一个平行四边形即可； （2）构造一个对角线的长分别为2，4的菱形即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求（答案不唯一）； （2）如图，菱形即为所求； 20．如图，在菱形中，，对角线．若过点作，垂足为，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分． 连接，根据菱形的性质可得，，然后根据勾股定理计算出长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案． 【详解】解：连接，交于点． 四边形是菱形， ，，，． 在中，由勾股定理得：， ． ， ， ． 21．指出下列命题中的真命题，对于假命题，分别给出一个反例． ①两邻边相等的四边形是菱形； ②一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形； ③对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形； ④对角线垂直的四边形是菱形． 【答案】②是真命题，①③④是假命题 【分析】本题考查了命题真假的判定，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大． 利用菱形的判定方法分别判断即可． 【详解】解：如答图， ①中，但四边形不是菱形， 故①是腵命题； ②中平分，即． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴，即四边形是一组邻边相等的平行四边形，故是菱形， 故②是真命题； ③中，，四边形不一定是平行四边形， 故③是腵命题； ④中，但与不一定平分，四边形不一定是菱形， 故④是假命题． 22．如图所示，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，求的度数．    【答案】 【分析】中垂线的性质，得到，证明，得到，进而得到，得到，再利用，进行求解即可． 【详解】解：连接    ∵的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足， ∴， ∵菱形， ∴，，， 又， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考察菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，中垂线的性质，是解题的关键． 23．如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. (1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为菱形； (3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）利用作一个角等于已知角作图即可解题； （2）先根据平行四边形的性质得到，再结合作图得到四边形为平行四边形，然后证明即可得到结论； （3）连接，先利用勾股定理求出长，再证明是平行四边形，求出长，利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）证明：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，点为的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （3）连接， 设， ∵平行四边形的周长为18， ∴，即， ∵，即， 解得， 又∵四边形为菱形， ∴，， 又∵， ∴是平行四边形， ∴， ∴． 24．如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各判定定理并正确应用是解题的关键． （1）利用证明，得出，然后证明，即可得证； （2）由（1）知：四边形是平行四边形，则要证四边形为菱形，只需证明一组邻边相等或对角线互相垂直即可，如添①平分，则可证；如添③，则可证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：选①平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ； 选③， ∵平行四边形， ∴O为中点， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 25．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)同意，理由见解析； (3)或． 【分析】（）连接，证明即可得证； （）连接，同法()证明即可得证； （）过点作于点，分点在点的两侧进行讨论求解即可； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）解：连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：同意，理由如下： 连接， 同理（）可得， ∴； （3）解：过点作于点， 同理（）可知，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由（）知，， ∴， ∴或． 26．是等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AD，连接BD，交AC于点O，连接CD，过点A作于点P，交BD于点E，连接 (1)如图1，当时，则______； (2)如图2，当时，依题意补全图 ①猜想中结论是否仍然成立，并说明理由； ②求证： 【答案】(1)60 (2)①成立，理由见解析；②见解析 【分析】（1）当时，是等边三角形，，四边形ABCD是菱形，可得，易证，因为，所以，进而可求出的值； （2）依题意画图即可； ①成立；，，可得≌，，，则，可得，由三角形内角和定理可得的值； ②用截长补短法，在BE上截取，可得是等边三角形，，证明≌，则，进而可证明 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 四边形ABCD是菱形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ，是等边三角形， ， 故答案为：60； （2）解：如图2所示： ①（1）中结论是否仍然成立，理由如下： 如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ≌， ， ， ，， ， ，， ， ，， ； ②如图3所示：在BE上截取， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， ，，， 【点睛】本题考查了三角形的变换、等腰三角形和等边三角形的性质、三角形的全等等知识点，用截长补短法构造三角形的全等是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 学科网（北京）股份有限公司 $$