2.4 整式的加减 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级上册

2.4 整式的加减 第二章 整式及其加减 知1－讲 感悟新知 知识点 同类项 1 1. 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项 . 所有的常数项都是同类项 . 感悟新知 知1－讲 知识链接 1. 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式； 2. 同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 . 感悟新知 2. 判断同类项的方法 (1)同 类 项 必 须 同 时 满 足“ 两 个 相 同”：① 所 含 字 母 相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可 . (2) 判断是不是同类项有“ 两个无关”：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关，如 3mn 与 －nm 是同类项 . 知1－讲 知1－练 感悟新知 [母题 教材 P102 例 1 ] 下列各组中的两个式子是同类项的是( ) A. 2x2y 与 3xy2 B. 10ax 与 6bx C. a4与 x4 D. π 与 －3 例1 知1－练 感悟新知 解：A 中所含字母相同，但相同字母的指数不同； B， C 中所含字母不同； D 中 π 是常数，与－3 是同类项 . 解题秘方：紧扣同类项定义中的“两个相同”进行识别 . 答案：D 知1－练 感悟新知 1-1.若 2xmy2 与 －xyn+3是同类项，则(     ) A.m=1， n=2 B.m=1， n= － 1 C.m=0， n= － 1 D.m=0， n=2 B 感悟新知 知2－讲 知识点 合并同类项 2 1. 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 . 2. 合并同类项的法则 把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变 . 感悟新知 知2－讲 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，通常在同类项的下面作相同的标记； (2) 运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项组合在一起； (3) 利用合并同类项法则合并同类项 . 知2－讲 感悟新知 特别解读 合并同类项法则可简记为“一相加，两不变” . 其中： “一相加”是指各同类项的系数相加； “两不变”是指字母连同它的指数不变. 感悟新知 知2－练 [母题 教材 P103 例 3 ]合并下列多项式中的同类项： (1) x2 － 3x － 2+4x － 1； (2) 3a2b － 2ab+2+2ab － a2b － 5. 例2 解题秘方：合并同类项：将同类项的系数相加， 字母和字母的指数保持不变 . 知2－练 感悟新知 解：x 2－3x－2+4x－1 =x2+(－3x+4x) +(－2－1) =x2+(－3+4) x－3 =x2+x－3. (1) x2 － 3x － 2+4x － 1 找同类项，要连同该项的 符号一同标记上 . 加法的交换律、结合律 . 合并同类项，没有同类项 的项不能漏掉 . 知2－练 感悟新知 解： 3a2b － 2ab+2+2ab － a2b － 5 =(3a2b － a2b ) +(－2ab+2ab) +(2－5) =(3－1) a 2b+(－2+2) ab－3 =2a 2b－3. (2) 3a2b － 2ab+2+2ab － a2b － 5 知2－练 感悟新知 2-1. [中考· 宜宾] 下列计算正确的是(     ) A.4a － 2a=2 B.2ab+3ba=5ab C.a+a2=a3 D.5x2y － 3xy2=2xy B 感悟新知 知3－讲 知识点 去括号法则 3 1. 去括号法则 括号前面是“ +”号，把括号和它前面的“ +” 号去掉，括号里各项都不改变正负号； 括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变正负号 . 感悟新知 知3－讲 2. 去括号时的注意事项 (1) 去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉； (2) 需要变号时，括号里的各项都变号；不需要变号时，括号里的各项都不变号 . 知3－讲 感悟新知 特别解读 1. 去括号是式子的一种恒等变形，去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变”. 2. 去括号的依据是分配律，去括号时，既要注意符号，又要注意各项系数的改变. 知3－练 感悟新知 [母题 教材 P108 练习 T1] 去括号： (1)2(0.5－2x)；(2) －4( 1－ x) . 例3 解题秘方：去括号时，先判断括号外的因数是正数还是负数，再根据去括号法则计算 . 知3－练 感悟新知 解： 2(0.5－2x) =2× 0.5 － 2× 2x=1 － 4x. (1)2(0.5－2x)； (2) －4( 1－ x) . －4( 1－ x) = － 4× 1+(－ 4) ×( － x) = － 4+2x. 知3－练 感悟新知 3-1.下列去括号中，正确的是(     ) A. a2－( 2 a －1) = a2－2a－1 B. a2+(－2a －3) = a2－2a+3 C.3a－ [5b－(2c－1) ]=3a－5b+2c－1 D. －(a + b) +( c －d) =－a－b－c+d C 知3－练 感悟新知 [母题 教材 P108 练习 T3 ]先去括号，再合并同类项： (1) x－ (2x－2)； (2) －3(2a－3b) －5a+b； (3) (x+ )－2 (3x－ ) . 例4 解题秘方：先利用去括号法则去括号，然后再合并同类项 . 知3－练 感悟新知 解： x－ (2x－2) =x － 2x+2=－x+2. (1) x－ (2x－2)； (2) －3(2a－3b) －5a+b； (3) (x+ )－2 (3x－ ) . －3(2a－3b) －5a+b = － 6a+9b － 5a+b= － 11a+10b. (x+ )－2 (3x－ ) =x+ － 6x+ = － 5x+ . 知3－练 感悟新知 易错点拨：去括号时要看清括号前面的符号，当括号前面是“－”号时，去括号后，原括号里各项的符号都要改变，千万不能只改变第一项的符号而忘记改变其余各项的符号 . 知3－练 感悟新知 4-1.化简： (1)3a－ (b－3a) =___________； (2)2x+1－ (x+1) =__________. 6a－b x 知3－练 感悟新知 4-2.化简：(1) x+(－3y－2x)； (2)2a－ (5b－a) +b ； 解：原式＝x－3y－2x＝－x－3y. 原式＝2a－5b＋a＋b＝3a－4b. 知3－练 感悟新知 (3)(3xy2－x2y) －(2xy2－x2y)； (4) a2－ (a2－a) －(a2－3a). 解:原式＝3xy2－x2y－2xy2＋x2y＝xy2. 原式＝a2－a2＋a－a2＋3a＝－a2＋4a. 知3－练 感悟新知 先化简，再求值： (1) 4xy－2xy－ (－3xy)，其中 x=2， y=－1； (2) (mn－ m－ )－(m－ mn+1) ，其中 m= ，n= . 例5 知3－练 感悟新知 解题秘方：解本题首先要将所求的式子去括号并合并同类项，然后再代入求值 . 解： 4xy－2xy－ (－3xy) =4xy － 2xy+3xy= ( 4 － 2+3) xy=5xy. 当 x=2， y=－1 时，原式 =5× 2×(－1) =－10． (1) 4xy－2xy－ (－3xy)，其中 x=2， y=－1 知3－练 感悟新知 解： (mn－ m－ )－(m－ mn+1) = mn－ m－ －m ＋ mn － 1 = mn － m － . 当 m= ，n= 时， 原式 = × × － × －=－ . (2) (mn－ m－ )－(m－ mn+1) ，其中 m= ，n= . 知3－练 感悟新知 5-1.先化简，再求值：(－x 2 + 3xy － y2) －(－3x2+5xy－2y2)，其 中x=， y=－. 知3－练 感悟新知 5-2.已知 m－n=5，mn=－3， 求多项式－(m+4n－mn) －(2mn－2 m －3 n) +( 2 n －2 m －3mn) 的值 . 解：原式＝－m－4n＋mn－2mn＋2m＋3n＋2n－2m－3mn＝－m＋n－4mn＝－(m－n)－4mn. 当m－n＝5，mn＝－3时，原式＝－5－4×(－3)＝7. 感悟新知 知4－讲 知识点 添括号法则 4 1. 添括号法则  所添括号前面是“ +”号，括到括号里的各项都不改变正负号； 所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变正负号 . 感悟新知 知4－讲 2. 添括号与去括号是相反变形，可以用去括号来检验添括号的正确性 . 知4－讲 感悟新知 特别提醒 添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说添括号时括号前面的“+”号或“－” 号也是新添的 . 感悟新知 知4－练 [母题 教材 P109 练习 T2] 将多项式 3x2－2x2+4x－5 添括号后正确的是( ) A. 3x2－(2x2+4x－5) B. (3x2+4x) －(2x2+5) C.(3x2－5) +(－2x2－4x) D. 2x2+(3x2+4x－5) 例6 知4－练 感悟新知 解题秘方：紧扣添括号法则逐一判断 . 解：将各选项去括号进行检验，去括号后与已知多项式相同，则添括号正确 . (3x2+4x) －(2x2+5) =3x 2+4x－2x 2－5= 3x 2－2x 2+4x－5. 答案：B 知4－练 感悟新知 6-1. [ 期中· 遂宁 ] 下列各式中与 a － b － c 不相等的是(     ) A.a － (b+c) B.a － (b － c) C.( a － b) +( － c) D. (－ c) － (b － a) B 感悟新知 知4－练 已知 a2 － ab=3， ab － b2= － 2，求 a2 － 2ab+b2， a2 － b2的值 . 例7 解题秘方：巧妙利用添括号法则，将要求的代数式变形为已知代数式的和或差的形式，进行整体代入求值 . 知4－练 感悟新知 解： a2 － 2ab+b2 = a2 － ab － ab＋ b2 = (a 2 － ab) –(ab － b 2). 把 a2 － ab=3， ab － b 2 = － 2 代入，得原式 =3 －(－ 2 ) =5. a2 － b2 = a2 － ab ＋ ab － b2 =(a2 － ab ) +( ab － b 2 ) . 把 a2 － ab=3， ab － b 2 = － 2 代入，得原式 =3+ (－ 2 ) =1. 知4－练 感悟新知 7-1. [ 中考· 无锡 ] 若a － b=2， b － c= － 3， 则a － c 等于(     ) A.1 B. － 1 C.5 D. － 5 B 感悟新知 知5－讲 知识点 整式的加减 5 1. 整式加减运算的一般步骤  先去括号，再合并同类项 . 2. 整式化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简； 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 知5－讲 感悟新知 特别提醒 整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列 . 感悟新知 知5－练 已知 A=3x2y+3xy2+y4， B= － 8xy2 － 2x2y － 2y4. 求：(1) A － B； (2) A+ B. 例8 知5－练 感悟新知 解题秘方：将已知的多项式代入要求的式子中，然后去括号、合并同类项 . 解：A－B =(3x 2y+3xy 2+y 4) －(－8xy 2－2x 2y－2y4) =3x 2y+3xy 2+y 4+8xy 2+2x 2y+2y 4 =5x 2y+11xy 2+3y 4. 提醒：要带上括号. (1) A － B； 知5－练 感悟新知 解： A+ B =(3x 2y+3xy 2+y 4) + (－8xy 2－2x 2y－2y 4) =3x 2y+3xy 2+y 4－4xy 2－x 2y－y 4 =2x 2y－xy 2. (2) A+ B. 知5－练 感悟新知 8-1.已知 A=x－ y+2， B= x－y－1. (1)求 A－2B； 知5－练 感悟新知 (2) 若3y－x=2，求 A－2B的值 . 感悟新知 知5－练 有一道题：先化简，再求值： 17x2－ (8x2+5x) －(3x2+x－3) +(－5x2+6x－1) －3，其 中 x=－2 024. 小 明 做 题 时 把“x=－2 024”错抄成了“x=2 024”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 . 例9 解题秘方：将多项式进行化简后，再根据化简结果说明原因 . 知5－练 感悟新知 解： 17x2－ (8x2+5x) －(3x2+x－3) +(－5x2+6x－1) －3 = 17x2－ 8x2 － 5x －3x2 － x ＋ 3 －5x2 ＋ 6x－1 －3 =(17 － 8 － 3 － 5) x2+(－ 5 － 1+6) x+(3 － 1 － 3) = x2 － 1. 因为当 x= － 2 024 和 x=2 024 时， x2 － 1 的值相等， 所以小明将“ x= － 2 024”错抄成“ x=2 024”，计算的结果是正确的 . 知5－练 感悟新知 9-1.有这样一道题：当x= － 2 024， y=2 025时，求多项式7x3 － 6x3y+3(x2y+x3+2x3y) － (3x2y+10x3)的值 . 有一名同学看到x， y 的值就怕了，认为这么大的数比较难算，你 能帮他解决这个问题吗？ 解：原式＝7x3－6x3y＋3x2y＋3x3＋6x3y－3x2y－10x3 ＝(7x3＋3x3－10x3)－(6x3y－6x3y)＋(3x2y－3x2y)＝0. 因为所得的结果与x，y的值无关， 所以无论x，y取何值，该多项式的值都是0. 感悟新知 知5－练 某小区有一块长为 40 m、宽为 30 m 的长方形空地， 现要美化这块空地，在上面修建如图 2.4-1 所示的十字形花圃，在花圃内种花， 其余部分种草 . (1) 求花圃的面积； (2) 若建造花圃及种花的费用为每平方米 100 元，种草的费用为每平方米 50 元，则美化这块空地共需多少元？ 例10 知5－练 感悟新知 解题秘方：用整式表示花圃的面积，再根据题意求费用 . 解：花圃的面积为 40x+30x－x 2= 70x－x(2m 2) . (1) 求花圃的面积； 知5－练 感悟新知 解：美化这块空地共需 100(70x－x 2) +50［ 30× 40－(70x－x2)］ =7 000x－100x 2+60 000－3 500x+50x 2 =－50x 2+3 500x+60 000(元) . (2) 若建造花圃及种花的费用为每平方米 100 元，种草的费用为每平方米 50 元，则美化这块空地共需多少元？ 知5－练 感悟新知 10-1.如 图，边 长为 a的正方形纸片，剪去两个 一 样 的 小 直 角 三 角形 和一 个 小 长 方 形 得到一个“囧”字图案(阴影部分)，设 剪 去 的 两个 小 直 角 三 角 形 的 两直 角 边 长 分 别 为 x， y，剪 去 的 小 长 方 形 的 长和宽也分别为 x， y. 知5－练 感悟新知 (1) 求“囧”的面积 S(用含 a， x， y 的式子表示)； (2) 当 a=20， x=5， y=4时，求 S 的值 . 当a＝20，x＝5，y＝4时， S＝202－2×5×4＝400－40＝360. 整式的加减 去括号 添括号 计算顺序 整式的加减 同类项 合并同类项 课堂小结 解：原式＝－x2＋3xy－y2＋3x2－5xy＋2y2＝ 2x2－2xy＋y2. 当x＝，y＝－时， 原式＝2×－2××＋＝. 解：因为A＝x－y＋2，B＝x－y－1， 所以A－2B＝x－y＋2－2＝－x＋y＋4. 解：因为3y－x＝2， 所以A－2B＝－x＋y＋4＝ (3y－x)＋4＝×2＋4＝5. 解：由题意知，S＝a2－2×xy－xy＝a2－2xy. $$