第01讲 认识三角形（8个知识点+8种题型+分层练习） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01讲 认识三角形（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点5．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点6．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点7．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点8．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角 题型强化 题型一．三角形 1．（2023秋•西湖区校级月考）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能　　 A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 2．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有 　　对． 3．（萧山区校级月考）两条平行直线上各有个点，用这对点按如下的规则连接线段； ①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点； ②符合①要求的线段必须全部画出； 图1展示了当时的情况，此时图中三角形的个数为0； 图2展示了当时的一种情况，此时图中三角形的个数为2； （1）当时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　　个； （2）试猜想当对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？ （3）当时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？ 题型二．三角形的角平分线、中线和高 4．（2023秋•西湖区校级月考）如图，在中，是边上的中线，已知，，则和的周长差为 　　． 5．（2022秋•铁东区校级月考）如图， 在中，，是边上的中线， 则，请说明理由 ． 6．（2022秋•利川市校级期中）下面四个图形中，线段是的高的图是　　 A． B． C． D． 题型三．三角形的面积 7．（2022秋•德清县期末）如图，是的中线，是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为　　 A．4 B．5 C．5.5 D．6 8．（2023秋•越城区校级月考）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 　　． 9．（2023秋•桐乡市月考）如图，在中，，，点是上的一点，连．设，当分别满足下列条件时，求的值． （1）为边上的中线． （2）为的平分线． 题型四．三角形的稳定性 10．（2022秋•越城区校级期末）下列图形中，具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•瓯海区期中）生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的　　 A．稳定性 B．全等性 C．灵活性 D．对称性 12．（2023秋•江北区期末）如图，活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的 　　性质． 题型五．三角形的重心 13．（温岭市校级期中）如图，在中，、是中线，、交于点，已知的面积为4，求四边形的面积　　． （提示：为重心，分中线长． 14．（2020秋•温岭市期中）如图，的三条中线，，交于同一点，若，则图中阴影部分面积是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2021春•海淀区期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． （1）与的长度有什么关系？并证明你的结论． （2）边上的中线是否一定过点？为什么？ 题型六．三角形三边关系 16．（2021秋•余杭区月考）下面各组线段中，能组成三角形的是　　 A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 17．（2022秋•婺城区期末）若、、为三角形的三边，且，满足，则第三边的取值范围是　　． 18．（2023秋•越城区校级月考）已知，，是三角形的三边长，化简：． 题型七．三角形内角和定理 19．（2024春•宿城区期中）在中，若，则此三角形是　　三角形． 20．（2023秋•北仑区校级期中）如图，、都是的角平分线，且，则　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•北仑区校级期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 题型八．三角形的外角性质 22．（2021秋•下城区校级期中）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•萧山区期中）如图，是的一个外角，若，，则　　． 24．（2020秋•西湖区校级期中）已知：如图，在中，为上一点，，，，求的度数． 分层练习 一、单选题 1．（19-20八年级上·浙江杭州·阶段练习）图中钝角三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，中边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．（20-21八年级上·浙江台州·阶段练习）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）的三角之比是1∶2∶3，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．（八年级上·浙江·阶段练习）如图，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用三角形的（    ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）圆圆要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，铁丝的长度为1m，圆圆从M，N两处弯曲，其中，她不能成功的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（    ） A．2，2，5 B．4，8，15 C．4，8，8 D．6，12，18 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知三角形的两边长分别为5cm和7cm，则第三边的长可以是（    ） A．1cm B．2cm C．6cm D．12cm 9．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，和分别是的角平分线和高线，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（19-20八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在△ABC中，∠B=∠C，∠A+∠B=115°，则∠B= . 12．（19-20八年级上·浙江·期中）如图，直线，平分，，则的度数是 . 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，平分交于点D，则 ． 14．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的面积为 ．    15．（浙江温州·期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为 ． 16．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则 ． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 18．（20-21八年级上·浙江湖州·阶段练习）现有三条线段，它们的长分别是9cm，18cm，26cm．这三条线段能构成三角形的三边吗？为什么？ 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 20．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是平面内四个点．连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，与交于G，，，求的度数．（用m，n表示） 21．（23-24八年级上·浙江金华·开学考试）如图，，平分，点，，分别是射线，，上的动点点，、不与点重合，且，连结交射线于点．    (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 22．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．    (1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分； (2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ； (3)当为多少秒时，的面积为． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)作关于轴成轴对称的； (2)将向右平移个单位，作出平移后的；则此三角形的面积为__________． (3)在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为__________． 24．（八年级上·浙江金华·期中）我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． 活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能“或“不能”） （2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=　 　度； 活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1． 数学思考： （3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 认识三角形（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点5．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点6．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点7．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点8．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角 题型强化 题型一．三角形 1．（2023秋•西湖区校级月考）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能　　 A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形． 如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形． 如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形． 因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 2．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有 　3　对． 【分析】以为公共边的“共边三角形”有：与、与、与三对． 【解答】解：与、与、与共三对． 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的定义，学生全面准确的识图能力，正确的识别图形是解题的关键． 3．（萧山区校级月考）两条平行直线上各有个点，用这对点按如下的规则连接线段； ①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点； ②符合①要求的线段必须全部画出； 图1展示了当时的情况，此时图中三角形的个数为0； 图2展示了当时的一种情况，此时图中三角形的个数为2； （1）当时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　4　个； （2）试猜想当对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？ （3）当时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？ 【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当时的情况，此时图中三角形的个数为0，有；当时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有；故当有对点时，最少可以画个三角形；（3）当时，按上述规则画出的图形中，最少有个三角形． 【解答】解：（1） 4个； （2）当有对点时，最少可以画个三角形； （3）个． 答：当时，最少可以画4010个三角形． 【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题． 题型二．三角形的角平分线、中线和高 4．（2023秋•西湖区校级月考）如图，在中，是边上的中线，已知，，则和的周长差为 　2　． 【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后求出和的周长差，再代入数据计算即可得解． 【解答】解：是边上的中线， ， 和的周长差， ，， 和的周长差． 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形的中线，熟记概念并确定出和的周长差是解题的关键． 5．（2022秋•铁东区校级月考）如图， 在中，，是边上的中线， 则，请说明理由 ． 【分析】证明，利用全等三角形的对应角相等， 说明，从而说明． 【解答】证明：是边上的中线，， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查垂直的证明问题， 关键是理解把握垂直的定义 ． 6．（2022秋•利川市校级期中）下面四个图形中，线段是的高的图是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【解答】解：选项中，与不垂直； 选项中，与不垂直； 选项中，与不垂直； 线段是的高的图是选项． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 题型三．三角形的面积 7．（2022秋•德清县期末）如图，是的中线，是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为　　 A．4 B．5 C．5.5 D．6 【分析】根据是的中线得，根据是的中点得，，然后根据求解即可． 【解答】解：是的中线， ， 是的中点， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 8．（2023秋•越城区校级月考）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 　7　． 【分析】因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【解答】解：如图，点是的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ，， ， ，且， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高之比． 9．（2023秋•桐乡市月考）如图，在中，，，点是上的一点，连．设，当分别满足下列条件时，求的值． （1）为边上的中线． （2）为的平分线． 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可； （2）根据角平分线性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）为边上的中线， ， ， ， ； （2）如图，过点作于点，于点， 为的平分线， ， ，， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键． 题型四．三角形的稳定性 10．（2022秋•越城区校级期末）下列图形中，具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形具有稳定性分析，只有组成该图形的所有图形都是三角形时该图形才具有稳定性，据此进行解答即可． 【解答】解：根据三角形的稳定性可得，、、都不具有稳定性，具有稳定性的是选项． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是三角形具有稳定性；解题的关键是熟练地掌握三角形具有稳定性． 11．（2023秋•瓯海区期中）生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的　　 A．稳定性 B．全等性 C．灵活性 D．对称性 【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性． 【解答】解：这是利用了三角形的稳定性． 故选：． 【点评】主要考查了三角形的性质中的稳定性，关键是根据三角形的稳定性解答． 12．（2023秋•江北区期末）如图，活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的 　不稳定　性质． 【分析】根据四边形的不稳定性解答即可． 【解答】解：活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的不稳定性质， 故答案为：不稳定． 【点评】此题考查三角形的稳定性，关键是根据四边形的不稳定性解答． 题型五．三角形的重心 13．（温岭市校级期中）如图，在中，、是中线，、交于点，已知的面积为4，求四边形的面积　　． （提示：为重心，分中线长． 【分析】如图，作辅助线，运用重心的性质分别求出、的面积，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接； 设、、、， 的面积分别为、、、、； 、是中线， 、、； ；，， ， 四边形的面积． 故答案为． 【点评】该题主要考查了三角形重心的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用重心的性质等几何知识点来解题． 14．（2020秋•温岭市期中）如图，的三条中线，，交于同一点，若，则图中阴影部分面积是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知的面积即为阴影部分的面积的3倍． 【解答】解：方法 的三条中线、，交于点， ，， ， ，， ． 方法 设，，，，，的面积分别为，，，，，，根据中线平分三角形面积可得：，，，①，②， 由①②可得， 所以， 故阴影部分的面积为4． 故选：． 【点评】考查了三角形的重心，三角形的面积，根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，的面积的面积的面积，的面积的面积的面积． 15．（2021春•海淀区期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． （1）与的长度有什么关系？并证明你的结论． （2）边上的中线是否一定过点？为什么？ 【分析】（1）连接．根据三角形的中位线定理，得，．根据平行得到三角形相似于三角形，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． （2）连接，根据三角形的中位线定理，得，，根据平行得到三角形相似于三角形，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【解答】解：（1），理由如下： 连接， 、是边、上的中线， ，． ， ， 即． （2）边上的中线一定过点， 理由是：作边上的中线，交于， 连接， 、是边、上的中线， ，． ， 即， ， 和重合， 即边上的中线一定过点． 【点评】此题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质． 题型六．三角形三边关系 16．（2021秋•余杭区月考）下面各组线段中，能组成三角形的是　　 A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、，不能组成三角形，故选项错误； 、，不能组成三角形，故选项错误； 、，不能组成三角形，故选项错误； 、，能组成三角形，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键． 17．（2022秋•婺城区期末）若、、为三角形的三边，且，满足，则第三边的取值范围是　　． 【分析】根据非负数的性质列式求出、，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【解答】解：由题意得，，， 解得，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系． 18．（2023秋•越城区校级月考）已知，，是三角形的三边长，化简：． 【分析】三角形两边之和大于第三边，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可求解． 【解答】解：，，是三角形的三边长， ， ． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的意义． 题型七．三角形内角和定理 19．（2024春•宿城区期中）在中，若，则此三角形是　直角　三角形． 【分析】根据三角形的内角和定理得出，代入得出，求出即可． 【解答】解：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故答案为：直角． 【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：三角形的内角和等于． 20．（2023秋•北仑区校级期中）如图，、都是的角平分线，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【解答】解：、都是的角平分线， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 21．（2023秋•北仑区校级期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【分析】用表示出、，然后利用三角形的内角和等于列方程求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，再根据计算即可得解． 【解答】解：， ，， ， ， 解得， ， 是的高， ， 是的角平分线， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键． 题型八．三角形的外角性质 22．（2021秋•下城区校级期中）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质，直角三角形的性质，运用三角形外角的性质计算角的度数是解题的关键． 23．（2023秋•萧山区期中）如图，是的一个外角，若，，则　　． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 24．（2020秋•西湖区校级期中）已知：如图，在中，为上一点，，，，求的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决． 【解答】解：， ① ， ② 把②代入①得：， ． ． 解法二：，且，， ， 又，， ，． 【点评】注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换． 分层练习 一、单选题 1．（19-20八年级上·浙江杭州·阶段练习）图中钝角三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据钝角三角形的定义即可解决问题，三角形按角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形 【详解】△ABD、△ACF与△ABF是钝角三角形 【点睛】本题关键是知道大于90°小于180°的角为钝角，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，中边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断． 【详解】解：中边上的高是线段． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高线的定义是解决问题关键． 3．（20-21八年级上·浙江台州·阶段练习）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，依次对四个选项进行判断，即可解题． 【详解】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 四个选项中只有选项D符合题意，选项A、B、C均不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，四边形不具有稳定性，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）的三角之比是1∶2∶3，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为，结合已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 5．（八年级上·浙江·阶段练习）如图，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用三角形的（    ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【答案】A 【分析】 本题考查三角形的特性，根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：三角形具有稳定性，因此这是利用三角形的稳定性， 故选A． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）圆圆要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，铁丝的长度为1m，圆圆从M，N两处弯曲，其中，她不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”解答即可． 【详解】解：∵能构成三角形， ∴， 即， ∴， ∴选项D不符合要求， 故选D． 7．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（    ） A．2，2，5 B．4，8，15 C．4，8，8 D．6，12，18 【答案】C 【分析】此题考查了三角形三边组成三角形的条件：较小两边的和大于第三边，熟练掌握三边关系是解题的关键．用最小的两边相加大于第三边判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C、∵，∴能组成三角形，故符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知三角形的两边长分别为5cm和7cm，则第三边的长可以是（    ） A．1cm B．2cm C．6cm D．12cm 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：设三角形第三边的长是， ， ， 第三边的长可以cm． 故选：C． 9．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用中线的定义可知，可知与的周长之差即为和的差，可求得答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵周长，周长， ∴周长−周长， 即与的周长之差是2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形中线的定义，由条件得出两三角形的周长之差即为和的差是解题的关键． 10．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，和分别是的角平分线和高线，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．先求出，的度数，根据平分线平分角求出，再利用进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别是的角平分线和高线， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题 11．（19-20八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在△ABC中，∠B=∠C，∠A+∠B=115°，则∠B= . 【答案】65° 【分析】首先根据三角形的内角和求出,再结合已知条件求出； 【详解】 又 故答案是：. 【点睛】本题主要考查三角形的内角和为，熟记这一特点是解决本题的关键. 12．（19-20八年级上·浙江·期中）如图，直线，平分，，则的度数是 . 【答案】59°. 【分析】由补角的定义求出∠CAD的度数，根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵直线AC∥BD，∠1=62°， ∴ ， ∵AB平分∠CAD， ∴ 故答案为59° 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，平分交于点D，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用考点知识直接作答即可． 【详解】∵，， ∴， ∵，平分， ∴． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的面积为 ．    【答案】15 【分析】本题考查直角三角形的斜边的中线，三角形的面积等知识，根据三角形的中线平分三角形的面积即可． 【详解】解：， ， 是中线， ． 故答案为：15． 15．（浙江温州·期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为 ． 【答案】4 【分析】△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，即可求解． 【详解】解：△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12， 延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，（证明见备注） △BEC的面积＝S＝6， BP＝BE， 则△BPC的面积＝△BEC的面积＝4， 故答案为：4． 备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1， 例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G． 求证：EG＝CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H． ∵AE＝BE，EH∥BF， ∴AH＝HF＝AF， 又∵AF＝CF， ∴HF＝CF， ∴HF：CF＝， ∵EH∥BF， ∴EG：CG＝HF：CF＝， ∴EG＝CG． 【点睛】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 16．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，根据折痕是角平分线，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿对折得到， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 【答案】(1)的取值范团是 (2)为6，8，10，12 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）根据三角形的三边关系定理得出，再求出的取值范围即可； （2）根据周长为奇数得出为偶数，根据的范围求出即可． 【详解】（1）解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边， ∴，即， ∴的取值范围是； （2）解：∵的周长为奇数， ∴为偶数， ∵， ∴为6，8，10，12． 18．（20-21八年级上·浙江湖州·阶段练习）现有三条线段，它们的长分别是9cm，18cm，26cm．这三条线段能构成三角形的三边吗？为什么？ 【答案】能，理由见解析 【分析】根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：∵9+18=27＞26， ∴这三条线段能构成三角形的三边． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先找出的中点，连接即可得出的中线；作的平分线即可； （2）过点C作，垂足为点N，延长，过点A作，垂足为点M，即可得出高线． 【详解】（1）解：即为所求作的中线，为所求作的角平分线，如图所示： （2）解：、为所求作的高线，如图所示： 【点睛】本题主要考查了作三角形的高线、中线和角平分线，解题的关键是熟练掌握三角形高线、中线和角平分线的定义． 20．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是平面内四个点．连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，与交于G，，，求的度数．（用m，n表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形外角性质证明即可； （2）由（1）的结论求解即可． 【详解】（1）证明：延长交于E （2）解：平分，平分 ， 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，灵活运用三角形外角的性质是解决本题的关键． 21．（23-24八年级上·浙江金华·开学考试）如图，，平分，点，，分别是射线，，上的动点点，、不与点重合，且，连结交射线于点．    (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 22．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．    (1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分； (2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ； (3)当为多少秒时，的面积为． 【答案】(1)； (2)； (3)当或时，的面积为． 【分析】()三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中线的性质可求出P的路径长即可求解； ()和分别以、为底时，高相同，根据和的比即可求出面积比； ()分两种情况讨论，当在上时，利用面积求出的长度即可求出，当在上时，利用面积比可求出的长，即可求出． 【详解】（1）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分， 此时， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当在线段上时，如图，    ， 解得； 当在线段上时，如图，    ， ∴， ∵和高相同， ∴， ∴， ∴， ∴当或时，的面积为． 【点睛】此题考查了三角的面积公式，三角形的动点问题，灵活应用三角形面积公式是解题的关键． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)作关于轴成轴对称的； (2)将向右平移个单位，作出平移后的；则此三角形的面积为__________． (3)在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为__________． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，； (3)作图见解析，． 【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可； （）根据平移的性质作图即可，利用割补法即可求出该三角形的面积； （）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即为所求，由图形即可写出点的坐标； 本题考查了作轴对称图形，作平移后的图形，三角形面积，轴对称最短路线问题，坐标与图形，掌握作轴对称和平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求，    由图可得，的面积， 故答案为：； （3）解：如图，点即为所求，由图形可得，点的坐标为．    理由：∵点关于轴对称， ∴， ∴，根据两点之间，线段最短，可知，此时的值最小． 24．（八年级上·浙江金华·期中）我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． 活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能“或“不能”） （2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=　 　度； 活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1． 数学思考： （3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围． 【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°． 【分析】（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果. 【详解】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上， ∴小棒能继续摆下去； (2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3， ∴∠A2A1A3=45°， ∴∠AA2A1+∠θ=45°， ∵∠AA2A1=∠θ， ∴∠θ=22.5°； (3)如图乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°， ∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°， ∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°， 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ⩾90°，5θ<90°， ∴15°⩽θ<18°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$