专题17三角函数（三大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用） 专题17 三角函数 考点01 三角函数的实际应用 1．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：） 2．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 3．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）    4．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    5．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米．（参考数据：）    6．（2023·湖北黄石·中考真题）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知，，则圆心角所对的弧长约为 km（结果保留）．    7．（2023·湖北黄石·中考真题）计算： ． 8．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（，结果精确到0.1）    9．（2023·湖北黄冈·中考真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）    10．（2023·湖北十堰·中考真题）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 11．（2023·湖北宜昌·中考真题）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，． （参考数据：）    (1)求的值（精确到）； (2)在中，求的长（结果取整数）． 12．（2023·湖北随州·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）    (1)求点D到地面的距离； (2)求该建筑物的高度． 13．（2022·湖北黄石·中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数） 14．（2022·湖北荆门·中考真题）1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝ 小时． 15．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 16．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（    ） A． B． C． D． 17．（2022·湖北襄阳·中考真题）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度．无人机在点A处测得纪念塔顶部点B的仰角为45°，纪念塔底部点C的俯角为61°，无人机与纪念塔的水平距离AD为10m，求纪念塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80） 18．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：，，结果精确到1m）． 考点02 三角函数与四边形 19．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（    ）    A． B． C． D． 20．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．    21．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，，．    (1)若正方形的边长为2，E是的中点． ①如图1，当时，求证：； ②如图2，当时，求的长； (2)如图3，延长，交于点G，当时，求证：． 22．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．    23．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 考点03 三角函数与圆 24．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 26．（2024·湖北·中考真题）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． (1)求证：是的切线． (2)连接交于点，若，求弧的长． 27．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证： ①是的切线； ②； (2)若，，求． 28．（2023·湖北随州·中考真题）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，①求的半径；②求线段的长． 29．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）    A． B． C． D． 30．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 31．（2022·湖北黄石·中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（    ） A． B． C． D． 32．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若，CG＝2，求阴影部分的面积． 33．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．    (1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（湖北专用） 专题17 三角函数 考点01 三角函数的实际应用 1．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：） 【答案】51 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 由题可知，， 设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：51． 2．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 3．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）    【答案】铜像的高度是； 【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出． 4．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    【答案】斜坡的长约为10米 【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ． ∴． ∵， ∴在中，（米）． 答：斜坡的长约为10米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米．（参考数据：）    【答案】 【分析】根据题意可得，，，，，，，如图所述，过点作于点，在中，根据正切的计算方法可求出的值，在中根据角的正切值可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，，，，， ∴如图所述，过点作于点，    ∵，即，且，， ∴， ∴四边形是矩形，即，， 在，，， ∴，则， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查运用仰俯角的正切值计算边的长度，掌握构成直角三角形，三角函数的计算方法是解题的关键． 6．（2023·湖北黄石·中考真题）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知，，则圆心角所对的弧长约为 km（结果保留）．    【答案】 【分析】设，由是的切线，可得，由此构建方程求出r,再利用弧长公式求解． 【详解】解：设， 由题意，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解． 7．（2023·湖北黄石·中考真题）计算： ． 【答案】9 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，解题的关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算． 8．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（，结果精确到0.1）    【答案】13.8// 【分析】解直角三角形，求得和的长，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 在中，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键． 9．（2023·湖北黄冈·中考真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解． 【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，    由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵博雅楼顶部E的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， 由题意可得四边形是矩形， ∴， ∵尚美楼顶部F的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 10．（2023·湖北十堰·中考真题）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【详解】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 11．（2023·湖北宜昌·中考真题）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，． （参考数据：）    (1)求的值（精确到）； (2)在中，求的长（结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦函数即可求解； （2）先求得的度数，再利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， 在中，； （2）解：， ， 的长为 ． 【点睛】本题考查了求余弦函数的值，弧长公式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．（2023·湖北随州·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）    (1)求点D到地面的距离； (2)求该建筑物的高度． 【答案】(1)5米 (2)米 【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解； （2）通过证明，然后解直角三角形分析求解． 【详解】（1）解：过点D作，    由题意可得， ∴在Rt中，， 即点D到地面的距离为5米； （2）如图，    由题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在Rt中，，即， 解得， 在Rt中，，即， 解得， 答：该建筑物的高度为15米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13．（2022·湖北黄石·中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数） 【答案】12.7 【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE=x m，在Rt△BDE中，，进而求得，在Rt△ADE中，，求得，根据CD=CE-DE可得出答案． 【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB， 则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°， 设DE=x m， 在Rt△BDE中， 解得 则m， 在Rt△ADE中，， 解得m， ∴CD=CE-DE． 故答案为：12.7． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 14．（2022·湖北荆门·中考真题）1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝ 小时． 【答案】(1+)/（＋1） 【分析】根据题意求出和的度数以及AP的长度，然后再中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间=路程速度，进行计算即可求解． 【详解】由题意得： ∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里， 在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100×＝50（海里）， PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里）， 在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里）， ∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里， ∴t＝＝（1+）小时， 故答案为：（1+）． 【点睛】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 15．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，即求的长，求得∠BAC＝30°，进而解即可求解． 【详解】如图，    ∵底部是边长为120m的正方形， ∴BC＝×120＝60m， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴AB＝＝120m， ∴AC＝＝m． 答：这个金字塔原来有米高． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 16．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解． 【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD， ∴∠BCD=α，∠ACD=45°． 在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα， 在Rt△CDA中， AD=CD×tan45° =m×cosα×tan45° =mcosα， ∴AB=AD-BD =（mcosα-msinα） =m（cosα-sinα）． 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对． 17．（2022·湖北襄阳·中考真题）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度．无人机在点A处测得纪念塔顶部点B的仰角为45°，纪念塔底部点C的俯角为61°，无人机与纪念塔的水平距离AD为10m，求纪念塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80） 【答案】烈士塔的高度约为28m． 【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，则BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案． 【详解】解：由题意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°， 在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m， ∴BD=AD=10m， 在Rt△ACD中，∠DAC=61°， tan61°=≈1.80， 解得CD≈18， ∴BC=BD+CD=10+18=28（m）． ∴纪念塔的高度约为28m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 18．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：，，结果精确到1m）． 【答案】古亭与古柳之间的距离的长约为 【分析】过点作的垂线，交延长线于点，设，则，分别在和中，解直角三角形求出的长，再建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交延长线于点， 由题意得：， 设，则， 在中，， 在中，，， 则， 解得， 则， 答：古亭与古柳之间的距离的长约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 考点02 三角函数与四边形 19．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键． 20．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．    【答案】 【分析】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案． 【详解】解：在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，    ∵点C的坐标为， ∴，， 在中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键． 21．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，，．    (1)若正方形的边长为2，E是的中点． ①如图1，当时，求证：； ②如图2，当时，求的长； (2)如图3，延长，交于点G，当时，求证：． 【答案】(1)①详见解析；② (2)详见解析 【分析】 （1）①由，证明，可得结论；②如图，延长，交于点G作，垂足为H，证明，可得，可得，设可得，可得，可得，证明，可得，从而可得答案； （2）如图，延长，作，垂足为H，证明，设，可得，由，可得，可得，由可得，可得，证明，可得，，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    正方形中，， ①， ∴， ， ， ②如图，    延长，交于点G， 作，垂足为H， 且， ， ， ， ， 方法一：设， ∴， ∴， 在中，， ， ， 方法二：在中，由，设， ， ， ， 又且， ， ， ， ； （2）如图    延长，作，垂足为H， 且， ， 设， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，则， 又且， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题计算量大，对学生的要求高，熟练的利用参数建立方程是解本题的关键． 22．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为 ．    【答案】 【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点． ∵，为的中点， ∴，，． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，则于点，    设，由折叠可知则， ∵， ∴，， 又由折叠得，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 由折叠知，， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在 中，， ∴， 解得：， ∴，，即，， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解． 23．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°， ∵CE=BD=2，AB=AC=6， ∴AE=4， ∴， ∴BF=4， ∴， 又∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， 又∵∠BDP=∠ADB， ∴△BDP∽△ADB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABP的周长， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 考点03 三角函数与圆 24．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 25．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又， 在中，， ， 解得： 26．（2024·湖北·中考真题）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． (1)求证：是的切线． (2)连接交于点，若，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2)弧的长为． 【分析】（1）利用证明，推出，据此即可证明结论成立； （2）设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算求得，求得，再求得，利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 设的半径为， 在中，，即， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 27．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证： ①是的切线； ②； (2)若，，求． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证； ②连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，结合，即可得证； （2）连接交于．根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，由得：，在中，即可求解． 【详解】（1）证明：①四边形是菱形， ， ，则 又为的半径的外端点， 是的切线． ②连接，    ∵ ∴ 为直径， ， 而 ， 又 ． （2）解：连接交于．   菱形，， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， 由得：， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（2023·湖北随州·中考真题）如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，①求的半径；②求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①3；②2 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论； （2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径； ②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，   点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：①如图，连接，   是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为； ②由（1）可知，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键． 29．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，，作交于点    ∵在中，，，， ∴， ∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆， ∴是半圆的直径， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 30．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 31．（2022·湖北黄石·中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正十二边形的中心角，利用十二边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵十二边形是正十二边形， ∴， ∵于H，又， ∴， ∴圆内接正十二边形的周长， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，解直角三角形，求出正十二边形的周长是解题的关键． 32．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若，CG＝2，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，根据已知条件，由OD⊥BC ，DEBC，证明OD⊥DE即可； （2）根据相等，再由（1）中可得，，从而得到∠CAD=∠BAD=∠ABC=30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的面积，在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DEBC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，进而即可阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接OD，如图所示， ∵点D为的中点， ∴OD⊥BC ∵DEBC， ∴OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线． （2）连接BD，如图所示， ∴BD=AC ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴∠CAD=∠BAD=30°． ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt△ACG中，， ∴， ∵， ∴，， ∴BD=CA=6， ， 在Rt△ABD中， ∴ ∵DE∥BC， ∴△CAG∽△EAD，   ∴， 即， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 33．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．    (1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积． 【答案】(1)PC与⊙O相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可证明∠PCO=90°即可； （2）先证明，再证明△PBC∽△PCA，从而求出，AB=3，，，最后证明△PBC∽△POD，求出，则CD=6，由此求解即可． 【详解】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下： ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠OCB+∠OCA=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵∠PCB=∠OAC， ∴∠PCB=∠OCA， ∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°， ∴PC与⊙O相切； （2）解：∵∠ACB=90°，， ∴， ∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P， ∴△PBC∽△PCA， ∴， ∴， ∴AB=6， ∴， ∴， ∵， ∴△PBC∽△POD， ∴，即， ∴， ∴CD=6， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角证明，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆切线的判定是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$