第三章 函数的概念与性质（B卷） 重难点检测卷-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

第3章 函数的概念与性质 重难点检测卷 （B卷：提优检测） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·北京·阶段练习）设函数在上有意义，且对于任意的，，都有，并且函数的对称中心是原点，若函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·江苏·期中）若实数满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法不正确的是（   ） A．已知，，若，则组成集合为 B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C．命题为真命题的充要条件是 D．不等式解集为，则 11．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 14．（23-24高一上·北京·期中）函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知（，且），． (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求和的值域． 17．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 19．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 函数的概念与性质 重难点检测卷 （B卷：提优检测） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调增函数，则. 故选：B 2．（21-22高一上·四川成都·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过函数的定义域和值域，分析四个选项的定义域和值域，即可得出正确图像. 【详解】由题意， 在中，定义域为，值域为， 选项A，定义域为，值域为，满足题意，A正确. 选项B，定义域，值域为，不满足定义域和值域，B错误. 选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误. 选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以故D中图象不是函数的图像，D错误. 故选：A. 3．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可； 【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得. 故选：D 4．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】把的取值逐个代入检验可得答案. 【详解】当时，若恒成立，则，即， 由于，所以恒成立，此时符合题意； 当时，若恒成立，则，即， 由于，所以恒成立，此时符合题意； 当时，若恒成立，则，即， 由于，所以不成立，此时不符合题意； 当时，若，则，不满足，不合题意. 故选：C 5．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果. 【详解】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，      当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解. 7．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果． 【详解】二次函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又已知在上单调递减， 所以，可得. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，由对称性可知， 所以当时，取得最大值，即最大值为， 在当时取得最小值，即最小值为， 要使对任意的，都有，只要成立即可， 所以，解得， 又，所以的取值范围，即. 故选：A. 8．（22-23高一上·北京·阶段练习）设函数在上有意义，且对于任意的，，都有，并且函数的对称中心是原点，若函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件可知为奇函数，从而可得也为奇函数，然后结合，可得在上单调递增，结合单调性和奇函数的定义可得，从而可求出不等式的解集. 【详解】由函数的对称中心是原点，所以为奇函数，所以， 因为，所以， 所以，所以为奇函数， 因为对任意的，，都有， 所以， 所以，即， 所以， 所以对任意的，且，， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：此题考查了利用函数奇偶性和单调性求解不等式，解题的关键是由已知条件判断出的奇偶性和单调性，考查数学转化思想. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·江苏·期中）若实数满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】依题意，解得， 设， ∴， ∴有最大值，最大值为. 故选：BD． 10．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法不正确的是（   ） A．已知，，若，则组成集合为 B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C．命题为真命题的充要条件是 D．不等式解集为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，考虑时，，满足要求，A错误；B选项，考虑时，满足要求，B错误；C选项，转化为在上有解，求出的最小值，得到答案；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，得到答案. 【详解】A选项，，又， 当时，，满足， 当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，中，当时，满足要求，B说法不正确； C选项，在上有解， 其中在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，最小值为， 故，C说法正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故，， 则，，故，D说法不正确. 故选：ABD 11．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据“平方差减函数”的定义可推出，从而构造函数，判断其为单调减函数，由此结合各选项一一判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意知函数为“平方差减函数”， 则满足对，当时，不等式恒成立， 即， 而，则， 令，则， 即在上单调递减， 对于A，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，故为“平方差减函数”，A正确； 对于B，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 则不是“平方差减函数”，B错误； 对于C，，则在上单调递减， 故为“平方差减函数”，C正确； 对于D，，则在上单调递增， 故不是“平方差减函数”，D错误； 故选：AC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】4048 【分析】先计算得到，再构造函数，定义法判断奇偶性，利用对称性有，即可求解. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令，则，， 因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数， 所以，即，所以. 故答案为：4048 14．（23-24高一上·北京·期中）函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】对于①：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ，可知函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知：当时， 函数在内单调递增，且, 所以的值域是，故①正确； 对于②：由①可知： 可知函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故②错误； 对于③：当任意且时， 令，， ，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④：当时， ， 可得，， ，， 以此类推可得，因此，故④正确； 故答案为：①④. 【点睛】关键点点睛：对于分式型函数常利用分离常数法结合单调性的性质分析求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知（，且），． (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求和的值域． 【答案】(1)； (2)； (3)值域：且；值域：． 【分析】对于（1）（2）将括号里面的值直接代入逐层求解即可； （3）求值域可借助初中反比例函数值域问题来解，对于的值域可以借助初中二次函数值域问题来解即可. 【详解】（1）∵，∴． 又∵，∴． （2）． ． （3）∵的定义域为，且，∴的值域为且． ∵，显然该式的最小值为2，∴的值域为． 17．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义即可求得; （2）利用单调性定义按步骤进行证明即可； （3）利用函数奇偶性和单调性将问题转化为不等式在时恒成立问题，再由基本不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数， 所以，即， 所以，经检验符合题意， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 因为， 任取， 所以， 则， 所以， 所以在上单调递增； （3）由（2）得在上单调递增， 又时，恒成立， 所以， 所以， 则在时恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以， 故的范围为． 18．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 19．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$