第三章 函数的概念与性质（A卷） 重难点检测卷-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

第3章 函数的概念与性质 重难点检测卷 （A卷：夯实基础） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一·江苏·假期作业）如图为函数和的图象，则不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·甘肃陇南·阶段练习）若函数在上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）若函数在R上单调递增，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏盐城·期中）下列说法正确的序号是（    ） A．偶函数的定义域为，则 B．一次函数满足，则函数的解析式为 C．若不等式的解集为或，则 D．若集合中至多有一个元素，则 11．（23-24高一上·福建漳州·阶段练习）已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得对恒成立 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是 ． 13．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 . 14．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数若，则的值域是 ；若函数的值域是，则实数的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 16．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知为奇函数，且． (1)求实数、的值． (2)判断函数在上的单调性，并证明． 18．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 19．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 函数的概念与性质 重难点检测卷 （A卷：夯实基础） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一·江苏·假期作业）如图为函数和的图象，则不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合判断各区间函数值的正负即可. 【详解】由图象可得当， 此时需满足，则，故； 当， 此时需满足，则，故. 综上所述，. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3．（23-24高一上·甘肃陇南·阶段练习）若函数在上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要想使分段函数在R上的增函数，需要每段函数都是单调递增函数，且在分段处左边函数的端点值，小于等于右边函数的端点值，建立不等式组，解不等式即可解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，即. 故选：C 4．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故选：C． 5．（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【详解】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 6．（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 7．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性可求解． 【详解】因为对任意，都有成立， 所以是上的减函数， 则，解得． 故选：A． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义直接判断各选项. 【详解】因为， 所以， 所以为偶函数，B选项错误； ， 所以为偶函数，A选项正确，C选项错误； 又因为，所以， 所以值域不可能负数，D选项错误； 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）若函数在R上单调递增，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件结合分段函数在R上单调递增的性质列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【详解】因为函数在R上单调递增， 所以，解得. 故选：BC. 10．（23-24高一上·江苏盐城·期中）下列说法正确的序号是（    ） A．偶函数的定义域为，则 B．一次函数满足，则函数的解析式为 C．若不等式的解集为或，则 D．若集合中至多有一个元素，则 【答案】AC 【分析】利用奇偶函数的定义域关于原点对称求出a，即可判断A；利用待定系数法解函数解析式即可判断B；根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系求出a、c，即可判断C；根据元素与集合的关系，结合一元二次方程的相关知识求解，即可判断D. 【详解】A：因为函数为偶函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得，故A正确； B：设，所以， 又，所以，解得或， 所以或，故B错误； C：由题意，且为方程的两个不同的根， 则，解得，所以，故C正确； D：若集合A有1个元素，当时，，符合题意； 当时，方程有两个相同的根，则， 此时，符合题意； 若集合A有0个元素，则，即方程无实根， 则，综上，实数的取值范围为或.故D错误. 故选：AC 11．（23-24高一上·福建漳州·阶段练习）已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得对恒成立 【答案】CD 【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由条件①得是偶函数，所以，条件②得在上单调递增，所以，故A错误； 若，则，故B错误； 若，在上单调递增，在上单调递减， 则或，因为，所以或，所以或，故C正确； 因为定义在上函数的图象是连续不断的，是偶函数，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确； 故选：CD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（22-23高一上·广东湛江·期中）已知函数，若，则a的值是 ． 【答案】或4 【分析】利用分类讨论，分和两种情况，分别表示出，求解即可． 【详解】因为函数， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，a的值是或4． 故答案为：或4. 13．（23-24高一上·天津·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是 . 【答案】 【分析】分离参数得，再设新函数，求出其最小值即可. 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令，因为在区间上单调递减， 则在区间上也单调递减， 所以， 所以，则实数m的最小值是. 故答案为：. 14．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数若，则的值域是 ；若函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数图象，结合图象根据函数的定义域即可求解函数的值域；结合二次函数的性质，根据题意解得参数满足的不等式，求得答案. 【详解】 当时，函数为， 画出函数图象，由图可知，当时，函数有最小值， 当或时，函数有最大值，则函数的值域为； 当函数的值域为，由函数图象可知， 当且仅当时，函数值，可得， 又由得或，结合图象可得， 综上所述，，即的范围为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数形结合是解分段函数的利器，作出分段函数图象，直接简化运算，提高解题速度. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)，图象见解析 (2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为， 所以， 所以的图象如下所示：    （2）由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 16．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知为奇函数，且． (1)求实数、的值． (2)判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)，． (2)函数在上是严格增函数，证明见解析 【分析】（1）由题意列出方程组即可求出参数的值； （2）直接按照函数单调性的定义进行证明即可. 【详解】（1）由题意可得，即，解得． 再由，解得． 综上可得，，． （2）函数在上是严格增函数． 证明：由（1）得， 设，则． 因为，，故有，即． 故函数在上是严格增函数． 18．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 19．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； （2）设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； （3）对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则，即， 解得或，所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$