11.3.2 多边形的内角和 课件　2024-—2025学年人教版数学八年级上册　

11.3.2 多边形的内角和 复习回顾 1、多边形的概念？ 2、三角形的外角和多少度？ 　　回忆　长方形、正方形的内角和等于______. 360°　　　 　　思考　任意一个四边形的内角和是否也等于360° 呢？ 探究活动 　 你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？ 证明：连接AC， ∠DAB +∠B +∠BCD +∠D =∠1 +∠2 +∠B + ∠3 +∠4 +∠D =(∠1 +∠B + ∠3) +( ∠2+∠4 +∠D) ∵∠1+∠B+∠3=180º ∠2+∠4 +∠D=180º ∴∠DAB +∠B +∠BCD +∠D = 180° + 180° = 360° A B C D 4 3 2 1 探究活动 　　从四边形的一个顶点出发， 可以作_____条对角线，它们将 四边形分为　　　　个三角形， 四边形的内角和等于 　　180°×____=　　　　°． 1 2 2 360 A B C D 　　 你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？ 探究活动 A B C D E 　　　 类比前面的过程，你能探索五边形的内角和吗？六边形呢？ 　　如图，从五边形的一个顶点 出发，可以作　　条对角线，它 们将五边形分为____个三角形， 五边形的内角和等于 　　180°×　　=　　　　°． 2 3 3 540 探究活动 　　如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条 对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的 内角和等于180°×____=_______°． 3 4 4 720 C A B D E F 探究活动 　　　 对此，你有什么结论呢？ n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一个顶点引出的对角线条数 图形 边数 ······ ······ 0 3 -3 = 4 -3 = 5 -3 = 6 -3 = n -3 1 2 3 3 -2 = 1 4 -2 = 2 5 -2 = 3 6 -2 = 4 n -2 （ n -2 ）·180º 180º 360º 540º 720º ······ ······ ······ 归纳总结 　　从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角 线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2） 个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形 的内角和等于（n -2）×180° 　　思考　你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系 吗？能证明你发现的结论吗？ (n ≥ 3) 归纳总结 n边形的内角和等于(n－2)·180 (n ≥ 3) 说明： (1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关； (2)强调凸多边形的内角的范围：0<  <180. 归纳总结 求出下列图形中x的值： 解： （1）140°+90°+x+x= (4-2)×180°=360º 解得 x=65° （2）120°+150°+90°+2x+x=(5-2)×180° =540º 解得 x=60° （3）120°+80°+75°+（180º-x）=(4-2)×180° =360º 解得 x=95° 练习巩固 1 440 8 填空： （1）十边形的内角和为 度． （2）已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数 为______． （3）四边形共有几条对角线？五边形、六边形呢？还有n边形呢？ 解：四边形共有2条对角线； 五边形共有5条对角线； 六边形共有9条对角线； n边形共有 条对角线 练习巩固 解：如图，四边形ABCD 中， ∠A +∠C =180°． ∵　∠A +∠B +∠C +∠D =（4 - 2）×180° =360°， 　　∴　∠B +∠D =360°-（∠A + ∠C） =360°- 180° =180° 　　例　如果一个四边形的一组对角互补，那么另一 组对角有什么关系？ A B C D 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 应用举例 有一六边形，截去一三角形，内角和会发生 怎样变化？请画图说明。 内角和减少180O 内角和不变 内角和增加180O 变式提升 　　问题1　我们知道，三角形的内角和是180°，三 角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360° 有多种方法．如图，你能说说怎样由外角与相邻内角 互补的关系得出这个结论吗？ Ａ B C D E F 1 2 3 探究活动 解： ∵∠1 +∠BAE =180° ∠2 +∠CBF =180° ∠3 +∠ACD =180° ∴∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD =540°． 在△ABC中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD 　 = 540° - 180° = 360° Ａ B C D E F 1 2 3 验证猜想 　　如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？ Ａ B C 1 2 3 D 4 解：∵ ∠BAD +∠1 =180° ∠ABC +∠2 =180° ∠BCD +∠3 =180° ∠ADC +∠4 =180° ∴∠BAD + ∠1 + ∠ABC +∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC +∠4 = 180°×4 = 720º 在四边形ABCD中， ∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2=360º ∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =720º - 360º =360° 验证猜想 　　　五边形的外角和等于多少度？六边形呢？ 仿照上面的方法试一试． 　　类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边 形的外角和是360°，六边形的外角和是360° 验证猜想 　　 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小 于3 的任意整数）的外角和吗？ 　　因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角， 它们的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于 n · 180°，所以， n 边形的外角和为： n · 180°-（n -2）· 180°= 360° 任意多边形的外角和等于360°． 探究活动 　　我们也可以在上面问题 的基础上这样理解多边形外角和等于360°． 　　如图，从多边形的一 个顶点A 出发，沿多边形 的各边走过各顶点，再回 到点A，然后转向出发的 方向． A 探究活动 　　在行程中转过的各个 角的和，就是多边形的外 角和．由于走了一周，所 转过的各个角的和等于一 个周角，所以多边形外角 和等于360°． A 探究活动 分别求出下列多边形的外角和的度数. 360° 360° 360° 360° 360° 小试牛刀 1.判断题。 （1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加。 （ ） （2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加。 （ ） （3）三角形的外角和与八边形的外角和相等。 （ ） 2．一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原多边形的边数为（　 ） A、13条 B、14条 C、15条 D、16条 A √ × √ 练习巩固 解：设该多边形是n边形（n≥3） 由题意可得 （n－2）×180°=120°·n 解得 n=6 ∴该多边形是六边形 若一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？ 应用举例 你有其他方法吗？ 第2种：设该多边形是n边形（n≥3） 该多边形的外角为 180º－120º=60º 则该多边形有 60º·n = 360º 解得 n=6 ∴该多边形是六边形 若一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？ 应用举例 一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形? 解：设该多边形是n边形（n≥3） 由题意可得 （n-2）×180°=360º 解得 n=4 ∴该多边形是四边形 练习巩固 A G F E D C B 7×180O－2×360O＝540O 巩固一下： 求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。 拓展延伸 课堂总结 　　（1）本节课学了哪些主要内容？ 　（2）学习了这节课，你对多角形的内角和外角和有什么新的认识？ 　　（3）数学思想…… 通过这节课的学习，谈谈你掌握了什么？ 布置作业 必做题：课本第24-25页 习题 11.3　第 2~8 题． 选做题：课本第25页 习题 11.3　第 9~10 题 再见！ $$