新课预习衔接：倍数与因数(讲义)-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

倍数与因数 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．奇数与偶数的初步认识 【知识点解释】 偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等． 【知识点归纳】 奇数和偶数的性质： 奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数 奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是2的倍数． 4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 6．最后一位是5或0的数是5的倍数． 7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 【方法总结】 奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+偶数＝奇数 6．5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 7．3的倍数特征 【知识点归纳】 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7＝10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 【方法总结】 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 第二部分 典型例题 例题1：有一块长40cm，宽30cm的白色纸板，现在要把它割成若干个正方形纸板，要求每个正方形纸板是最大的正方形，并且没有剩余． （1）每个正方形纸板的面积是多少平方厘米? （2）可以割多少块这样的正方形纸板? 【答案】10 cm  12块 【分析】（1）根据题意可知，把长方形纸板割成若干个正方形纸板，要求每个正方形纸板是最大的正方形，并且没有剩余，就是求长和宽的最大公因数，也就是割成的正方形的边长，然后用边长×边长=正方形的面积，据此计算； （2）要求可以割多少块这样的正方形纸板，分别求出长、宽可以割成几个，然后用乘法计算一共可以割多少块，据此解答. 【详解】（1）30和40的最大公因数是：10 10×10=100(cm2) 答：每个正方形纸板的面积是100平方厘米． （2） (40÷10)×(30÷10) =4×3 =12（块） 答：可以割12块这样的正方形纸板． 例题2：礼品店新进来96个玩具，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】如果每2个装一袋，能正好装完．如果每5个装一袋，不能正好装完．因为96不是5的倍数． 【详解】试题分析：（1）用96除以2，如果有余数就不能装完，如果没有余数，就正好装完； （2）用96除以5，如果有余数就不能装完，如果没有余数，就正好装完； 据此解答即可． 解答：解：（1）因为96÷2=48（袋）， 没有余数，能正好装完； 答：如果每2个装一袋，能正好装完． （2）96÷5=19（袋）…1（个）， 有余数，不能正好装完． 答：如果每5个装一袋，不能正好装完．因为96不是5的倍数． 点评：此题考查能被2、5整除的数的特征及其运用． 例题3：五（1）班有32名同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？（每行或每列不少于2人） 【答案】2行、4行、8行、16行；4种 【分析】把32名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是32，根据找因数的方法，可以一对一的找，有多少个因数就有多少种排法，再结合题目进行分析即可。 【详解】由分析可得： 32＝1×32，即每行1人，排32行，不符合题意；或者每行32人，排1行，不符合题意。 32＝2×16，即每行2人，排16行；或每行16人，排2行； 32＝4×8，即每行4人，排8行；或每行8人，排4行； 答：可以排2行、4行、8行、16行。共有4种排法。 【点睛】本题考查了找一个数因数的方法，解答此题的关键是把32分解因数，再对分解出来的因数结合题目进行分析，看是否需要排除。 例题4：9月30日烈士纪念日，学校计划组织学生去宝天铁路英烈纪念馆，准备了12朵百合和18朵菊花，用这两种花搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），请你帮忙设计可以扎成几束（至少2束）？每束有几朵百合？几朵菊花？ 【答案】方案一：可以扎成2束，每束有百合花6朵，菊花9朵。 方案二：可以扎成3束，每束有百合花4朵，菊花6朵。 方案三：可以扎成6束，每束有百合花2朵，菊花3朵。 【分析】由题意知：此题就是求12和18的公因数，可用分解因数的方法求得12和18各自有的因数，找出这两个数的公因数，然后根据题意解答。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的公因数有1、2、3、6。（1不符合题意，不考虑） 方案一：可以扎成2束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。 方案二：可以扎成3束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。 方案三：可以扎成6束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。 答：方案一：可以扎成2束，每束有百合花6朵，菊花9朵。 方案二：可以扎成3束，每束有百合花4朵，菊花6朵。 方案三：可以扎成6束，每束有百合花2朵，菊花3朵。 【点睛】掌握求两个或几个数的公因数方法是解答此题的关键。 第三部分 高频真题 1．小林和小华去看十四运的比赛，他们两个的座位号之和是20，差不超过10，已知他们的座位号都是质数，他们的座位号分别是多少？ 2．甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少． 3．某班21名同学参加竞赛，共有20道竞赛题。每道题的评分方法如下：答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分。这21名同学分数的总和是奇数还是偶数？ 4．张奶奶养了一些鸡，一天产蛋不超过50个，2个2个地数剩1个，5个5个地数剩4个，3个3个地数正好数完，一天最多产多少个蛋？ 5．水果超市要将51千克葡萄装盒销售，有下面3种包装盒，选择哪种包装盒能正好装完？为什么？ 2千克/盒     3千克/盒    5千克/盒 6．同学们栽树，三年级栽了150棵，四年级栽的树比三年级的2倍少25棵，五年级栽的树比三、四年级的总数少100棵，三四五年级一共栽了多少棵树？ 7．笑笑用一根24厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长和宽刚好是整厘米数，且是两个质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 8．用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？ 9．有114个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 10．2023年12月12日是西安事变87周年。张老师买了30枚纪念章，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子数大于3，小于10），且每个盒子里装同样多，有多少种不同的装法？ 11．有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？ 12．一个长方形的周长是24厘米，长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少？ 13．把35枝铅笔和42本练习本，平均奖励给几个优秀学生，结果铅笔缺1枝，练习本多2本，得奖励的优秀学生最多有多少人？ 14．水果超市要将51千克葡萄装盒销售，有下面3种包装盒，选择哪种包装盒能正好装完？为什么？ 15．有一些铅笔，无论是平均分给2个人、3个人，还是平均分给5个人，都剩1支．这些铅笔至少有多少支？ 16．学校买来65盆鲜花，每5盆摆一个圆圈，能整好摆完吗？如果每3盆摆一个圆圈，至少需要拿走几盆花？如果每9盆摆一个圆圈，至少需要再买多少盆花？ 17．75名同学参加团体操表演。如果要求每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？ 18．共享单车之后共享模式在我们的生活中层出不穷。某公司推出了共享篮球，在每个体育场门口各放60个篮球。下图中有三种包装方式，哪种包装方式恰好能装60个篮球？ 19．晚上开电灯，一连拉了7下开关，请问现在灯是开着还是关着？ 20．把48块月饼盒装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如果有47块月饼呢？ 21．教室的长是8米，宽是6米，如果用边长是2分米的方砖铺地，需要多少块方砖？如果每块方砖30元，一共要多少元？ 22．藏羚羊是国家一级保护动物，善于奔跑，时速可达80 km，最长寿命为最小质数与最小合数的乘积．藏羚羊的寿命最长是多少年？ 23．深圳大运会闭幕式体操队表演时有48人．如果体操队排成长方形队形（每队人数和排数都不小于4），可以有几种排法？ 24．60瓶饮料，有不同规格的包装盒，每盒可以包成多少瓶？有多少种不同的包装方法？ 25．合数可以写成几个质数相乘的形式，如：60＝2×3×2×5，把21、35、24、56、72也写成质数相乘的形式． 26．新冠肺炎流行期间，学校停课不停学，采用钉钉直播的方式在线学习。依依的钉钉密码是一个8位数，你能猜出她的密码吗？ 从左边起，第一位是最小的合数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是10以内最大的奇数，第五位的最大的因数是8，第六位是10以内3的倍数的同时又是偶数，第七位是10以内最大的合数，第八位是偶数中唯一的质数。 27．两个数都是质数，且它们的和是25，这两个数分别是什么？ 28．筐里有40个苹果，将它们全部取出来，分成数堆（堆数大于1，而小于40），使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？ 29．60个同学分成人数相等的小组，每组不少于6人，不多于30人，一共有多少种分法？ 30．如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈．如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等．问这六个质数的积是多少？ 31．在方格纸上画长方形，使得它的面积是16，边长是整厘米数。（每个小方格的边长表示1） （1）有哪几种画法？与同伴说一说。 （2）在下面横线上写出16的全部因数。16的全部因数：______________。 32．从0、1、3、5、7这五个数字中可以组成哪几个既是3的倍数，又是5的倍数，并且组成不重复的三位数？ 33．五（1）班学生人数在40至50之间，已知总人数同时是3和5的倍数，五（1）班有学生多少人？ 参考答案： 1．7号和13号 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数，据此分别写出和是20的两个数，再进行判断。 【详解】 在这几组加数中，只有3、17与7、13这两组数都是质数，又因为差不超过10，所以只有7、13符合题意。 答：他们的座位号分别是7号和13号。 【点睛】本题考查质数的应用。根据质数的意义找出符合题意的数是解题的关键。 2．33，24 【详解】试题分析：把792进行分解，然后找出相差9的两个因数相乘的形式，进而得出这两个数． 解：792=2×2×2×3×3×11=24×33， 因为33﹣24=9，符合题意； 所以甲数是33，乙数是24； 答：甲数是33，乙数是24． 点评：解答此题的关键：把792进行分解，分解成两个数相乘的形式，进而根据题意找出符合条件的这两个数． 3．偶数 【分析】此题满分为（分），即总分为偶数，若错1题要从100分里面扣去5＋1＝6（分），6为偶数，若不答从中扣去5－1＝4（分），4也为偶数，根据偶数－偶数＝偶数可知，一人的得分总是偶数，再根据偶数×奇数＝偶数确定21名学生的总和是偶数。 【详解】如全对得（分），即总分是偶数；如答错1题要从100分中减去（分），即94分，94也是偶数；如有1题不答，要从100分中减去（分），即96分，96还是偶数。根据偶数－偶数＝偶数，以此类推，每名同学的分数肯定是偶数。 所以这21名同学分数的总和就是偶数。 【点睛】此题结合实际考查整数的奇偶性，完成本题的关键在与弄明白错题和不答题所扣的分数的奇偶性。 4．39个 【分析】2个2个地数剩1个，鸡蛋总数为奇数，5个5个地数剩4个，鸡蛋总数是5的倍数减1，3个3个地数正好数完，鸡蛋总数为3的倍数，据此解答。 【详解】50以内5的倍数减1有：49，44，39，34，29，24，19，14，9，4，其中奇数有：49，39，29，19，9，这些数中是3的倍数有39和9，所以一天最多产39个蛋。 答：一天最多产39个蛋。 【点睛】解答此题的关键是先求出2和5的公倍数，然后减去1进行解答即可。 5．选择1盒装3千克的包装盒；理由见详解 【分析】由题意可知，若包装盒中装的重量是51是因数，则用该包装盒就能正好装完，否则就不能正好装完。据此解答即可。 【详解】51÷1＝51 51÷3＝17 51的因数有：1、3、17、51 答：选择1盒装3千克的包装盒能正好装完，因为3是51的因数。 6．750棵 7．35平方厘米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；24÷2＝12厘米；把12分成两个整厘米数，且是质数，12＝7＋5，即长是7厘米，宽是5厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】24÷2＝12（厘米） 12＝7＋5；长是7厘米，宽是5厘米。 7×5＝35（平方厘米） 答：这个长方形的面积是35平方厘米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键。 8．351 【分析】10个数字正好组成5个两位数，我们先不考虑“和是奇数”这个条件，只考虑5个两位数的和尽可能大如何解决。要使得0到9这10个数字组成的5个两位数的和尽可能大，那么5个两位数的十位上的数字要取较大的9，8，7，6，5，个位上的数字取较小的0，1，2，3，4，这时，我们再考虑5个两位数和的奇偶性。看几个数的和是奇数还是偶数，只需要看个位上的数字之和，如果个位上的数字之和是奇数（或偶数），那么这几个数的和就是奇数（或偶数）。根据这个原则，我们很容易看出个位是0，1，2，3，4，这5个数字中有2个是奇数，因为偶数个奇数的和是偶数，所以这5个两位数的和是偶数，不满足题目的要求。从已得到的5个两位数出发，尽可能少地调整十位与个位上的数字，调整的两个数字要尽可能地接近。因此，只有4和5这两个数字位置互换，这样5个两位数的十位上的数字分别是4，6，7，8，9，个位上的数字分别是0，1，2，3，5，这样个位上的数字之和就是奇数。 【详解】 ＝34×10＋11 ＝340＋11 ＝351 答：这5个两位数的和是351。 【点睛】一个整数是奇数还是偶数就是数的奇偶性，奇数的个数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和一定是偶数。 9．见详解 【分析】能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数；能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；再根据能被3、5整除的数的特征进行判断能否正好装完。 【详解】因为114的末尾是4，所以114不是5的倍数，所以如果每5个装一袋不能正好装完；因为1＋1＋4＝6是3的倍数，所以114是3的倍数，所以每3个装一袋能正好装完。 【点睛】此题考查能被3、5整除的数的特征及其运用。 10．2种 【分析】每个盒子的数量必须是30的因数，先求出30的所有因数，找到大于3小于10的因数，是每个盒子装的个数；纪念章的总数÷每个盒子装的个数＝需要的盒子数量，据此解答。 【详解】30因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 其中大于3小于10的有：5，6； 30÷5＝6（个） 30÷6＝5（个） 一种是一盒装5枚，需要6个盒子； 一种是一盒装6枚，需要5个盒子。 一共有2种装法。 答：有2种装法。 11．能装3本、4本、12本的包装袋 【分析】根据题意，用60分别除以3、4、8、12，结果没有余数，即可选用这种包装，据此解答。 【详解】60÷3＝20（个） 60÷4＝15（个） 60÷8＝7（个）……4（本） 60÷12＝5（个） 答：选用能装3本、4本、12本的包装袋正好能把这些笔记本装完。 【点睛】利用因数与倍数的关系进行解答，关键明确选用包装袋，本数没有剩余，即可选用。 12．35平方厘米 【分析】因为长方形的周长是24厘米，根据长方形的周长公式，可知长＋宽：24÷2＝12厘米，又因为长、宽均为质数，所以12＝7＋5，所以长应该是7厘米，宽是5厘米，再根据长方形的面积公式：S＝ab，即可求出面积，列式解答即可。 【详解】因为长方形的周长是24厘米，即（长＋宽）×2＝24 所以长＋宽：24÷2＝12（厘米） 又因为长、宽均为质数，所以12＝7＋5，所以长应该是7厘米，宽是5厘米 长方形的面积是：7×5＝35（平方厘米） 答：这个长方形的面积是35平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握10以内的质数。 13．4人 【详解】试题分析：要想求得奖励的优秀学生最多有多少人，就是求35+1和42﹣2的最大公约数，据此解答． 解：35+1=36，42﹣2=40， 36=2×2×3×3 40=2×2×2×5 因此36和40的最大公约数是2×2=4，即得奖励的优秀学生最多有4人． 答：得奖励的优秀学生最多有4人． 【点评】此题解答的关键在于求出36和40的最大公约数，进而解决问题． 14．选择1盒装3千克的包装盒能正好装完；理由见详解 【分析】由题意可知，若包装盒中装的重量是51是因数，则用该包装盒就能正好装完，否则就不能正好装完。据此解答即可。 【详解】51÷1＝51 51÷3＝17 51的因数有：1、3、17、51 答：选择1盒装3千克的包装盒能正好装完，因为3是51的因数。 15．答：这些铅笔至少有31支． 【详解】这些铅笔无论是平均分给2个人、3个人，还是5个人，都剩1支，也就是说铅笔的支数比2，3，5的共同倍数多1支．先求2，3，5的最小的共同倍数，符合要求的2，3，5的共同倍数是30，30＋1＝31，所以这些铅笔至少有31支． 16．见详解 【分析】根据是5的倍数的特征，即可判断每5盆摆一个圆圈，能否正好摆完；用花盆的数量除以3，可得余数是2，所以如果每3盆摆一圈，至少要拿走2盆花；最后65不能被9整除，而大于65且是9的整数倍的最小数是72，所以每9盆摆一个圆圈，至少需要再买（72－65）盆花，据此解答即可。 【详解】（1）因为65是5的13倍，所以每5盆摆一个圈，能正好摆完； （2）因为65÷3＝21……2（盆）， 所以如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花； （3）因为大于65且是9的整数倍的最小数是72，72－65＝7（盆） 所以如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。 答：每5盆摆一个圈，能正好摆完；如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花；如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。 【点睛】此题主要考查了公倍数应用题，解答此题的关键是熟练掌握是6、5、9的倍数的特征。 17．2种 【分析】分析题目，把75拆成两个因数的积，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即75的一个因数应大于10且小于30，找出符合要求的因数，有几组就有几种排列方法，据此解答。 【详解】75＝3×25＝5×15 可以排3排，每排25人；也可以排5排，每排15人。 答：符合要求的队列一共有2种。 【点睛】根据题意，把75拆成符合要求的两个因数的乘积是解答本题的关键。 18．第三种 【分析】要求60个篮球哪种包装方式能正好装完，也就是求哪个数是60的因数，据此解答。 【详解】第一种：60÷8＝7（盒）……4（个），8不是60的因数，不能用每盒装8个篮球的包装； 第二种：60÷9＝6（盒）……6（个）；9不是60的因数，不能用每盒装9个篮球的包装； 第三种：60÷12＝5（盒）；12是60的因数，能用每盒装12个篮球的包装。 答：第三种方式恰好能装60个篮球。 19．开着 【详解】奇数为开，偶数为关，7是奇数所以灯是开着 20．10种；1个、2个、3个、4个、6个、8个、12个、16个、24个、48个 2种；1个、47个 【分析】先找出48、47的所有因数，再解答。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，48有10个因数 47＝1×47，47有2个因数 答：48块月饼，一共有10种装法。分别需要1、2、3、4、6、8、12、16、24、48个盒子。 47块月饼，一共有2种装法，分别需要1、47个盒子。 【点睛】此题主要考查了因数的找法，一般用配对法，注意按照一定的顺序防止漏写。 21．1200块；36000元 22．8年 23． 每队的人数 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48 排数 48 24 16 12 8 6 4 3 2 1 答：可以有2种． 【详解】此题实际是求48的因数，然后根据题意即可解答． 24．每盒分别可包1瓶，60瓶，2瓶，30瓶，3瓶，20瓶，4瓶，15瓶，5瓶，12瓶，6瓶，10瓶，有12种不同的包法 【详解】试题分析：先找出60的因数，60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60．再找出哪两个数相乘是60，进而找到包装方法． 解：60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、20、30、60， 60=1×60，每盒分别可包1瓶或60瓶， 60=2×30，每盒分别可包2瓶，30瓶， 60=3×20，每盒分别可包3瓶，20瓶， 60=4×15，每盒分别可包4瓶，15瓶， 60=5×12，每盒分别可包5瓶，12瓶， 60=6×10，每盒分别可包6瓶，10瓶， 答：每盒分别可包1瓶，60瓶，2瓶，30瓶，3瓶，20瓶，4瓶，15瓶，5瓶，12瓶，6瓶，10瓶，有12种不同的包法． 点评：此题主要考查求一个数的因数的方法，关键根据哪两个数相乘是60找到包装方法． 25．21＝3×7，35＝5×7，24＝2×2×2×3，56＝2×2×2×7，72＝2×2×2×3×3 26．43198692 【分析】最小的合数是4；因数只有1和3的数是3；既不是合数也不是质数的数是1；10以内最大的奇数是9；最大的因数是8的数是8；10以内3的倍数的同时又是偶数的数是6；10以内最大的合数是9；偶数中唯一的质数是2；据此解答。 【详解】由分析可知：从左面起，第一位是4；第二位是3；第三位是1；第四位是9；第五位的最大的因数是8；第六位是10以内3的倍数，是6；第七位是9；第八位是2； 所以这个八位数是43198692。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握奇数、偶数、倍数、质数、合数的概念及意义，明白密码是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字组成的。 27．2、23 【详解】最小质数为2，除了2之外，所有的质数为奇数， 奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，25为奇数， 所以这两个质数中必定有一个为2， 则另一个为25﹣2=23． 答：这两个数分别是2、23． 28． 每堆的个数 2 4 5 8 10 20 堆数 20 10 8 5 4 2 答：有6种分法． 【详解】此题实际是求40的因数，然后去掉1和40即可． 29．6种 【分析】找到60的约数中大于或等于6，且小于或等于30的有：6、10、12、15、20、30，依此即可求解。 【详解】因为60的约数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30，60； 又因为每组不得少于6人，也不能多于30人， 只有6、10、12、15、20、30共6种：当每组是6人时，可以分成10组；当每组是10人时，可以分成6组；当每组是12人时，可以分成5组；当每组是15人时，可以分成4组；当每组是20人时，可以分成3组；当每组是30人时，可以分成2组； 答：一共有6种分法。 【点睛】考查了一个数的因数的求法，本题要注意找在6和30之间的因数。 30．900. 【详解】试题分析：设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S，4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了3次，所以：4S=2S+20，从而：S=10，这样，每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5，它们的积是：2×2×3×3×5×5=900，即可得解． 解：设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S． 则：4S=2S+20， 得：S=10， 2+3+5=10， 所以一个三角形顶点的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5； 如图， 2×2×3×3×5×5=900， 答：这六个质数的积是900． 点评：根据已知设出未知数，列出等式，求解，凑数，是解决此题的关键． 31．（1）有三种画法，图见详解。 （2）1、2、4、8、16 【分析】（1）长方形面积＝长×宽，面积是16平方厘米，可根据两个整数相乘等于16，得出这两个数，即为长方形的长和宽。每个方格表示1厘米，则可在方格中画出长方形。 （2）能整除16的数，就是16的因数，据此可得出答案。 【详解】（1）16＝4×4，16＝8×2，16＝16×1，则长方体的长和高可以分别为：4和4、8和2、16和1。可在方格中画出如图： （2）16的全部因数：1、2、4、8、16。 32．150，510，570，750，105，375，705，735 【分析】首先是5的倍数，那么这个三位数的个位上是0或者5，又是3的倍数，那么各个位上的数字和是3的倍数，由此找出所有的可能，进而求解。 【详解】个位上是0，又是3的倍数的三位数有： 150，510，570，750； 个位上是5，又是3的倍数的三位数有： 105，375，705，735； 一共有8个。 答：可以组成8个既是3的倍数，又是5的倍数，并且组成不重复的三位数。 【点睛】本题注意分类列举，做到不重复，不遗漏。 33．45人 【分析】由已知条件可知，这个班的学生人数必须是3和5的倍数，又要符合人数在40和50之间，那就先求出3和5的倍数，然后再扩大几倍，在40至50之间的即是答案。 【详解】因为总人数同时是3和5的倍数，所以总人数是3×5＝15的倍数；15的倍数有15、30、45、60… 又知总人数在40至50之间，而在40至50之间15的倍数只有45，所以五（1）班有学生45人。 答：五（1）班有学生45人。 【点睛】掌握3的倍数与5的倍数的特征是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$