第二章　解直角三角形　导学案　2024—2025学年青岛版数学九年级上册　

2.1锐角三角比 【学习目标】 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角比. 2.能利用定义正确求出锐角三角比. 【课内助学】 任务一：预习课本38-40页，说一说锐角三角比的意义.完成下列各题（10分钟）. 活动1 自主先学 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把： 锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作： 即： . 锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作： 即： . 锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作： 即： . 锐角A的 、 、 统称为锐角A 的三角比. 活动2 巩固提升 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，求cos A的值. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=1,.请求出∠A的正弦、余弦、正切值. 自我评价☆☆☆ 任务二：试一试，利用锐角三角比定义解答问题（15分钟）. 活动1 小组合作 1.在Rt△ABC中∠C＝90°，BC＝2AC.求:sin B的值. 2.在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则BC＝ . 3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上. 则tan B的值为 . 活动2 巩固提升 1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC＝ . 自我评价☆☆☆ 【课末测学】（10分钟） 1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（ ） A.扩大为原来的3倍 B．不变 C.缩小为原来的 D．不能确定 2.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠A的正切值为（ ） A． B． C． D． 3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（ ） A．5sinA B．5cosA C． D． 4.在Rt△ABC中，AC＝8，BC=6，则cos A的值等于 . 5.如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠ABC的值（ ） A． B．1 C． D． D． 6.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tan α的值是 . 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求:cos A，sin B，cos B． 自我评价☆☆☆ 【我的收获与困惑】 【分层作业】 A层 1.在Rt△ABC中∠C＝90°sin B＝，AB＝10.则tan A＝ . 2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点.若EF=6,BC=13,CD=5,则tan C＝ . 3.在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上. 求:图中∠ACB的正切值. 4.如图，在△ABC中，∠C＝90˚，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=,求sin B的值. B层 1.已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1＝∠2，则tan β＝ . 2. 如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝. 求:sin A的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 2.2 30°、45°、60°角的三角比 【学习目标】 1.熟记30°45°60°角的三角比,并进行实数计算. 2．能由已知角的三角臂求它对应的锐角. 【温故知新】 温故知新：1.根据图像写出下列三角比： sinA= tanA= cosA= sinB= tanB= cosB= 【课内助学】 任务一：自学课本，想一想下列问题，小组讨论后找出疑难点.(10分钟) 活动1 自主先学，展示归纳： 1.请同学们观察手中的一副三角尺，说出三角尺上有些特殊角，每个三角尺的三边之间有怎样的特殊关系? （设最短的边为a，请在图中标出各锐角角度及三边长） 2.由上图可得， （1）sin 30°=（ ） cos 30°=（ ） tan 30°=（ ） （2）sin 60°=（ ） cos 60°=（ ） tan 60°=（ ） （3） sin 45°=（ ） cos 45°=（ ） tan 45°=（ ） 3.将角的正弦、余弦、正切的值填入下表：特殊角的三角比表（熟背） 三角比 30° 45° 60° 增减性 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 活动2 巩固提升 1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝ ，cos B＝ ，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2.已知是锐角，当= 时，，这时tan= . 3.已知是锐角，当= 时，sin（α+15°）=，这时cos= . 4.当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角比是（ ） A.正弦和正切 B.余弦 C.正弦 D.余弦和正切 自我评价☆☆☆ 任务二：比较总结同角三角比之间的关系，算一算同角三角比类的题目.(10分钟) 活动1 观察温故知新和活动一填写的特殊角的三角比表的表格，你发现了哪些规律？按要求完成下列问题： 设A ＋ ∠B=90 ° ， 1.相等关系：sinA和cosB , cosA和sinB有什么关系? . 2.平方关系：sin2 α与cos2 α有什么关系？ . 3.倒数关系：tanA和tanB有什么关系？ . 活动2 巩固提升 1.已知是锐角，且sin=,cos(90-)等于（ ） A． B. C. D. 2.若cos（41°-A）=,则sin（49°+A）的值是（ ） A. B. C. D． 提示:（Sin260°表示(sin60°)2其余类推.） 4.如图，作边长为1 的正方形ABCD ．延长边CB 到D ′ ，使B D ′＝ B D，连接D D ′ ．你能利用这个图形求出22 . 5°角的正切的值吗？试一试. A B C D D′ 自我评价☆☆☆ 【课末测学】 1.△ABC中，若角A，B满足|cos A－ |＋(1－tan B)²＝0，则∠C的大小是(　　 ) A．45° B．60° C．75° D．105° 2.已知α、β均为锐角，且满足│sinα-│ +=0，则α+β= . 3.计算 (1) (2)（）-1﹣+（5﹣π）0+6tan60° (3) +sin45° 自我评价☆☆☆ 【我的收获与困惑】 【分层作业】 A层 1．在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠A的度数为（　　） A．100° B．105° C．90° D．60° 2.若+|2cosB﹣1|＝0，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有60°的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 B层 1. ﹣． 2.△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形 3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2+4b2﹣4bc＝0，则sinA+cosA的值为（　　） A． B．C．D． 4．关于三角函数有如下公式： sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如 sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1 利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0.其中正确的个数有（　　） A．1个B．2个 C．3个D．4 学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 2.4.1 解直角三角形 【学习目标】 1.能利用锐角三角比解出直角三角形. 2.通过题组训练，能归纳解直角三角形的方法. 【温故知新】 1.计算2—2+. 2. 在△ABC中，∠C=90°，=,则的值 . 【课内助学】 任务一：说一说直角三角形的三种关系，知道解直角三角形的意义.（15分钟） 活动1 自主先学 展示归纳 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,则 sinA＝ ，sinB= ，cosA= ， cosB= ，tanA= ，tanB= . 2. 在Rt△ABC中，，这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)三边之间关系： . (2)角之间的关系： . (3)边与角之间关系： . 3.解直角三角形的定义： . 活动2 例题讲解 1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，a,b,c分别为∠A,∠B，∠C的对边，a=6,b=2，解这个直角三角形. 活动3 巩固提升 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形. (1) a=5 , c=5 (2) ∠B=60°, c=14 2.△ABC中,∠C=90°,,,则________. 3.在△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinA的值是 . 4. 如上图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（ ） A. 5.2m B. 6.8m C. 9.4m D. 17.2m 自我评价☆☆☆ 任务二：辨析解直角三角形的条件，找出解直角三角形的方法.（12分钟） 活动1 根据条件解直角三角形 1.如图所示，是Rt△ABC斜边上的高，AC=4, ,求BC,CD的长度.A D C B 活动2 坐标系中的解直角三角形 1.如图，P点在边OA上一点，过作PB⊥X轴，垂足为B，OB=2,PB=，则=________． 活动3 巩固提升 1.在△ABC中，∠C=90°，=，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为 . 2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ） A.m B. m C. D.A D C B 3.如图所示，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D，AB=c,∠A=a，则CD的长为（ ） A.C B.C C.C D.C 自我评价☆☆☆ 【课末测学】（8分钟） 1.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则cosA= ，tanA= ． 2.在Rt△ABC中，已知∠C＝900，c=10，∠B＝530，，解这个直角三角形．（sin 53°= 0.8，cos 53°= 0.6） 3.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 4.如下图，在△ABC中,∠C=90°，且有,,. 求. C B A D 自我评价☆☆☆ 【我的收获与困惑】 【分层作业】 A层 1.△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝12，AC＝13，则BC的长　 　． 2.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 　 ． 3.如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 ． B层 1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB． （1）若AE＝1，求△ABD的周长； （2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，求：sinA的值． 学科网（北京）股份有限公司5 学科网（北京）股份有限公司 2.4.2 解直角三角形 【学习目标】 1.能用锐角三角比的知识将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题. 2.用所给的材料探究归纳总结出解斜三角形的两种常用方法. 【温故知新】 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB于点D．求∠BCD的三个三角函数值． 【课内助学】 任务一：分析给定材料，画一画辅助线来构造直角三角形，利用直角三角形的解法完成计算.（10分钟） 活动1 想一想：当△ABC不是直角三角形时，如何求它的边长和角呢？ 1.如图，在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=20,求AB的长. 活动2 巩固提升 1.如图△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AB＝2．BC的长为 ． 自我评价☆☆☆ 任务二：通过小组合作探究，归纳出解斜三角形的常用方法，解决实际问题.（20分钟） 活动1 小组合作 1.在△ABC中，∠A=120°，若∠C=45°，AC=2，求AB的长. B A C 活动2 变式训练 若将上述例题的条件“∠C=45°，AC=2”改成AB=4，AC=2，求sin C的值. B A C 注意：在作辅助线构造直角三角形时，一般不能破坏特殊角（30°、45°、60°角及150°、135°、120°邻补角）的完整性，尽量不要从这些特殊角的顶点作垂线. 活动3 巩固提升 1.在△ABC中,AB=12,AC=13,cos∠B=.求边BC的长. 自我评价☆☆☆ 【课末测学】（5分钟） 1.如图，在△ABC中，已知∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，则BC的长为 ． 2.如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC= ． 3.△ABC中，cosB＝，sinC＝，BC＝7，则△ABC的面积是 ． 自我评价☆☆☆ 【我的收获与困惑】 【分层作业】 A层 1.如图，在△ABC中，CA＝CB＝3，cosC＝，则tanB= ． 2.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC= ． （第1题图） （第2题图） 3.如图，AD是△ABC的角平分线，且AD=，∠C=90°，AC=，求BC及AB． B层 1.如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，sin∠APC= ． 2.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，sinA=，AD=6，BC=CD，AB=CD. 求边BC的长. 学科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 2.5.1 解直角三角形的应用（1） 【学习目标】 1. 了解仰角，俯角，方位角的定义，能根据题意及测量术语绘出示意图，将实际问题转化为数学问题. 2. 会用解直角三角形的常用方法解决简单的实际问题，提高解决问题能力. 【课内助学】 任务一：试一试通过小组合作的方式根据题意及测量术语绘出示意图，将实际问题转化为数学问题.(5分钟) 活动1 请阅读教材P53-54，解决如下问题： 1.什么叫仰角？ 2.什么叫俯角？ ， 3.试根据下面描述绘出示意图： （1）从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼有多高. （2） 为测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=60°. 活动2 巩固提升 1.如图，某直升飞机执行海上搜救任务，在空中A处观测到海面上有一目标B，飞机A与目标B的距离是3000米，，这时飞机的高度为1500米，求飞机在A处观测目标B的俯角. 2.武汉长江二桥为斜拉索桥，AB和AC分别是直立塔AD左右两边两根最长的钢索.已知AB=AC，BC=96 m，AB与BC的夹角为30°，求钢索AB的长及直立塔AD的高.请准确画图并标注相关量，把实际问题转化成数学问题后解答. 自我评价☆☆☆ 任务二：说一说题目当中出现的方位角，并根据题意解决实际问题.（6分钟） 活动1 小组合作自主完成下列例题. 1.如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处.问乙货船每小时航行多少海里？ 活动2 拓展延伸 1.如图，小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）. 自我评价☆☆☆ 【课末测学】（8分钟） 1.如图所示，C城市在A城市的正东方向，现计划在A,C城市间修一条高速公路，即线段AB，经测量，森林保护中心P在A的北偏东60°方向上，在线段AC上距离A120km的B处测得P北偏东30°方向上，则森林保护中心到AC的距离为多少？ 自我评价☆☆☆ 【我的收获与困惑】 【分层作业】 A层 1.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳关下落地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°.试求电线杆的高度（结果保留根号）. 2. 慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一，如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°。（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9） （1）求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示) （2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB. B层 1.住宅小区楼房之间的距离是建楼和购房时人们所关心的问题之一，如图所示．住宅小区南北两栋楼房的高度均为15米，已知当地时间冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的锐角是30°． （1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚．两楼间的距离应为多少米（精确到0.1米）？ （2）如果两楼房之间的距离为21米，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？如果影响，请求出南楼在北楼上的影子长，如果不影响说明理由. 学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 2.5.2解直角三角形的应用 【学习目标】 1. 了解坡度的定义，准确说出坡度的计算方法. 2.利用锐角三角比的相关知识解决关于坡度、仰角、俯角的实际问题. 【课内助学】 任务一：归纳总结坡度（或坡比）、坡角的定义，说一说坡度和坡角的区别与联系.（10分钟） 活动1 比较右面两个斜坡，总结出坡度的定义. 坡度：我们把斜坡的高度差h 与它们的水平距离 L 的比叫做 （或坡比），通常用字母 i 表示，即 . 坡角： 与 的夹角叫做坡角,记作 . 坡度等于坡角α的正切值，i = . 活动2 巩固提升 1.斜坡的坡度是 ，则坡角α=_____度. 2.斜坡的坡角是45°，则坡比是 _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 4.一段斜坡的坡度是i=1:2，斜坡起止点A,B的高度差h=4米，则斜坡长度为 米. 自我评价☆☆☆ 任务二：画一画辅助线，试着构造直角三角形，并利用解直角三角形求边长.（20分钟） 活动1 小组合作 如图，某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝.大坝的横断面ABCD是梯形，坝顶宽BC=6米，坝高25m，迎水坡AB的坡度 i=1：，背水坡CD的坡度i=1:2.5 （1）求斜坡AB和CD的长（精确到0.01m）. （2）求拦水大坝的底面AD的宽. 总结：在有些实际问题中没有直角三角形，可以适当添加 构造直角三角形. 活动2 巩固提升 1.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给 出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： 2.如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比． （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号） 自我评价☆☆☆ 【课末测学】（6分钟） 1．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，则坝底AD的长度为（　　） A．26米 B．28米 C．30米 D．46米 2．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　） A．5m B．m C．m D．3m 3．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（　　） 自我评价☆☆☆ 【我的收获与困惑】 【分层作业】 A层 1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（　　） A．9m B．6m C．m m D． m 2.如图所示，堤高BC=1米，迎水坡AB的长为2米，则斜坡AB的坡度i= . 3.一辆汽车沿着坡度为1:3的斜坡前进了100米，则上升的最大高度为 米. 4.如图，水坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽BC为3米，坝高4米，斜坡AB的长5米，斜坡CD的坡度i=1：1，求坝底AD的长. B层 1.如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（　　） A． 50 B． 51 C． 50+1 D． 101 2.实验中学要修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的42°改为36度．已知原来设计的楼梯长为4.5m，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面　 　m．（精确到0.01m） 3.济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：． （1）求新坡面的坡角α； （2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（） 4.为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°，坡长为60米的斜坡AB进行改造，在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE． （1）若修建的斜坡BE的坡角为36°，则平台DE的长约为多少米？ （2）在距离坡角A点27米远的G处是商场主楼，小明在D点测得主楼顶部H 的仰角为30°，那么主楼GH高约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin36°＝0.6，cos36°＝0.8，tan36°＝0.7，） 学科网（北京）股份有限公司11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$