三重教育2023-2024学年高一上学期10月质量监测数学试题

2023-2024学年第一学期高一年级质量监测 数学试题参考答案及评分建议 1.【答案】C 【详解】空集不含任何元素，故A错误； 2是无理数，故B错误；对于D，两个集合之间不能用“∈”，应为ϕ ⫋ { }0 ， 故D错误；3.14显然是实数，故C正确 .故选C. 2.【答案】B 【详解】因为U = { }x |-1 < x < 5，x ∈ N = { }0，1，2，3，4 ，A = { }1，2，3 所以 ∁U A = { }0，4 .故选B. 3.【答案】A 【详解】由( )1 - x ( )x + 2 > 0，得( )x - 1 ( )x + 2 < 0，解得-2 < x < 1.故选A. 4.【答案】D 【详解】取a = -2，b = 1，显然A，B错误；取 c = 0，显然C错误；由不等式性质得D正确 .故选D. 5.【答案】B 【详解】因为A ⊆ A ⋃ B,所以“x ∈ A ⋃ B”是“x ∈ A”的必要不充分条件 .故选B. 6.【答案】D 【详解】因为 x < 0，所以-x > 0， - 4 x > 0，得( )-x + ( )- 4x ≥ 2 ( )-x ⋅ ( )- 4x = 4，即 y = x + 4x = -éëêê ùûúú( )-x + ( )- 4x ≤ -4，当且仅当-x = - 4 x ，即 x = -2时，取等号，此时 y = x + 4 x ( )x < 0 有最大值为-4.故选D. 7.【答案】A 【详解】由 x2 - ( )t + 4 x + 4t < 0，得( )x - t ( )x - 4 < 0． 当 t < 4时，不等式的解集为 t < x < 4，无论 t取何值，原不等式解集中最多有 3个正整数：1，2，3，显然不符合 题意 . 当 t = 4时，不等式的解集为空集，显然不符合题意 . 当 t > 4时，不等式的解集为 4 < x < t，若使原不等式的解集中恰有 4个正整数，则此 4个正整数为 5，6，7，8，此时 8 < t ≤ 9.故选A. 8.【答案】C 【详解】 A = { }x | x ⊆ { }1，2 = { }ϕ，{ }1 ，{ }2 ，{ }1，2 ，显然集合 A中有 4个元素，所以集合 A的真子集的个数是 24 - 1 = 15. 故选C. 9.【答案】AC 【详解】由不等式的性质，显然A，C正确； 由1 < y < 2，得-2 < -y < -1，所以1 < x - y < 7，故B错误； 由1 < y < 2，得 12 < 1 y < 1，所以 32 < x y < 8，故D错误 . 故选AC. 10.【答案】ABC 【详解】由4x2 - 4x + 1 = ( )2x - 1 2 = 0，得 x = 12，显然A正确；显然BC都是此存在量词命题的否定 .故选ABC. 高一数学答案 第1页（共4页） 11.【答案】BC 【详解】 对于A，令2n + 1 = -8，得n = - 92 ∉ Z，令3n + 2 = -8，得n = - 10 3 ∉ Z，所以-8 ∉ A且 - 8 ∉ B，故A错误； 对于B，令2n + 1 = 47，得n = 23 ∈ Z，令3n + 2 = 47，得n = 15 ∈ Z，所以47 ∈ A且47 ∈ B，故B正确； 对于C，D，由A = { }x | x = 2n + 1，n ∈ Z = { }x | x = 2 ( )3n + 1，n ∈ Z ⋃ { }x | x = 2 ( )3n + 1 + 1，n ∈ Z ⋃ { }x | x = 2 ( )3n + 2 + 1，n ∈ Z = { }x | x = 6n + 1，n ∈ Z ⋃ { }x | x = 6n + 3，n ∈ Z ⋃ { }x | x = 6n + 5，n ∈ Z ， B = { }x | x = 3n + 2，n ∈ Z = { }x | x = 3( )2n + 2，n ∈ Z ⋃ { }x | x = 3( )2n + 1 + 2，n ∈ Z = { }x | x = 6n + 2，n ∈ Z ⋃ { }x | x = 6n + 5，n ∈ Z ， 得A ⋂ B = { }x | x = 6n + 5，n ∈ Z ，故C正确，D错误 .故选BC. 12.【答案】ACD 【详解】 对于A，ab ≤ ( )a + b2 2 = 14，当且仅当a = b = 12时，取等号，则ab的最大值为 14，故A正确； 对于B，由 a2 + b2 ≥ 2ab，得 2 ( )a2 + b2 ≥ ( )a + b 2 = 1，即 a2 + b2 ≥ 12，当且仅当 a = b = 1 2时，取等号，所以 a2 + b2最小值为 12，故B错误； 对于C，由B项得2 ( )a2 + b2 ≥ ( )a + b 2，所以 a + b ≤ 2 ( )a + b = 2,当且仅当a = b = 12时，取等号， 所以 a + b最大值为 2，故C正确； 对于 D，a3 + b3 = ( )a + b ( )a2 - ab + b2 = a2 + b2 - ab = ( )a + b 2 - 3ab = 1 - 3ab，由 A 项得 ab ≤ 14，所以 a3 + b3 ≥ 1 - 3 × 14 = 1 4，当且仅当a = b = 1 2时，等号成立，故D正确 .故选ACD. 13.【答案】{ }( )0，0 ，( )1，1 【详解】 由 ì í î y = x， y = x2，得 x = y = 0，或x = y = 1，故答案为：{ }( )0，0 ，( )1，1 . 14.【答案】x < 1（答案不唯一） 【详解】 显然“x < 1”是“x < 2”的一个充分不必要条件 . 15.【答案】-π ≤ α - β < 0 【详解】 由题可得-π2 ≤ α < π 2，α < β，且- π 2 < β ≤ π 2，即- π 2 ≤ -β < π 2，所以-π ≤ α - β < π. 由α < β，得α - β < 0.故-π ≤ α - β < 0. 16.【答案】{ }-2，2，174 【详解】 由 x - m x2 - 4 = x - m ( )x - 2 ( )x + 2 = 1，得 x - m = x + 2，或 x - m = x - 2时，原方程只有一个实数解， 即m = -2或m = 2，符合题意 . 由 x - m x2 - 4 = 1，得 x2 - x + m - 4 = 0，显然当Δ = 0时，原方程只有一个实数解，此时m = 17 4 . 所以M = { }-2，2，174 . 高一数学答案 第2页（共4页） 17.【解析】 （1）若m = 0，则N = { }x |-5 ≤ x ≤ 0 ，又M = { }x |-1 ≤ x ≤ 8 ，所以M ⋃ N = { }x |-5 ≤ x ≤ 8 . ..................4分 （2）若M ⊆ N，则m - 5 ≤ -1且2m ≥ 8， .....................................7分 解得m ≤ 4且m ≥ 4， ..........................................................9分 所以m = 4. ...............................................................10分 18.【解析】 （1）a b > a + m b + m . .....................................................4分 （2）证明：a b - a + m b + m = a ( )b + m - b ( )a + m b ( )b + m = m ( )a - b b ( )b + m . ..................8分 因为a > b > 0，m > 0，所以 b + m > 0，a - b > 0，所以 a b - a + m b + m > 0. ............11分 所以 a b > a + m b + m . ...................................................12分 19.【解析】 M = { }x | x2 - 5x - 6 = 0 = { }-1，6 . ...........................................2分 由M ⋂ N = N，得N ⊆ M. ..................................................4分 当N = ϕ时，m = 0；........................................................6分 当N = { }-1 时，-m = 1，得m = -1； ...........................................8分 当N = { }6 时，6m = 1，得m = 16 . ..............................................10分 综上，满足条件的m的集合为{ }0， - 1，16 . ......................................12分 20.【解析】 （1）由 xy - 9x - y = 0 ( )x > 0，y > 0 ，得 xy = 9x + y. .......................1分 因为 x > 0，y > 0，所以 xy = 9x + y ≥ 2 9xy（当且仅当9x = y时取等号)，......3分 即( )xy 2 - 6 xy ≥ 0，解得 xy ≥ 6，或 xy ≤ 0（舍），.......................4分 所以 xy ≥ 36，即 xy的最小值为36. ...........................................5分 由 ì í î xy - 9x - y = 0， 9x = y ( )x > 0，y > 0 ，解得 x = 2，y = 18. ............................6分 （2）由 xy - 9x - y = 0 ( )x > 0，y > 0 ，得 1x + 9 y = 1. ..............................7分 因为 x > 0，y > 0，所以 y x > 0，9x y > 0， 所以 x + y = ( )x + y ( )1x + 9y = 10 + yx + 9xy ≥ 10 + 2 yx ⋅ 9xy = 16 ( )当且仅当 yx = 9xy 时取等号 ，.............10分 所以 x + y的最小值为16. ......................................................11分 由 ì í î ï ïï xy - 9x - y = 0， y x = 9x y ， ( )x > 0，y > 0 ，解得 x = 4，y = 12. ............................12分 高一数学答案 第3页（共4页） 21.【解析】 （1）因为不等式 x2 + ax + b < 0的解集为{ }x |-1 < x < 3 ， 所以 x2 + ax + b = 0的两实根分别为-1，3，.................................................................2分 由韦达定理，得-1 + 3 = - a1， - 1 × 3 = b 1，........................................4分 解得a = -2，b = -3. ........................................................5分 （2）由 x2 + ax + b ≥ ( )m + 1 x - 2m - 9，得 x2 - 2x - 3 ≥ mx + x - 2m - 9 = m ( )x - 2 + x - 9， 由题意，因为 x > 2，所以m ≤ x2 - 3x + 6 x - 2 恒成立 . ......................................7分 令 y = x2 - 3x + 6 x - 2 = ( )x - 2 2 + x - 2 + 4 x - 2 = x - 2 + 4 x - 2 + 1 ≥ 2 ( )x - 2 ⋅ 4 x - 2 + 1 = 5， .........................................................................10分 当且仅当 x - 2 = 4 x - 2 ( )x > 2 ，即 x = 4时取等号，...............................11分 所以m ≤ 5，即实数m的最大值为5. ..............................................12分 22.【解析】 （1）证明：因为0 ∈ M，1 ∈ M，由②知0 - 1 = -1 ∈ M，.........................2分 所以1 - ( )-1 = 2 ∈ M，由③知 12 ∈ M. ......................................4分 （2）证明：当x = 0或x = 1时，显然x ∈ M，且x2 ∈ M. 若 x ∈ M，且 x ≠ 0，且 x ≠ 1，又1 ∈ M，由②知，x - 1 ∈ M. ...............6分 由③知，1 x ∈ M， 1 x - 1 ∈ M，则 1 x - 1 x - 1 = 1 x ( )1 - x = 1 x - x2 ∈ M，........................8分 所以 x - x2 ∈ M，...........................................................10分 所以 x - ( )x - x2 = x2 ∈ M. .................................................11分 综上，若x ∈ M，则x2 ∈ M. .................................................12分 高一数学答案 第4页（共4页） null