教考衔接3(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第五章　一元函数的导数及其应用 教考衔接3　函数的公切线 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 1 一、真题展示 (2020·全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝ eq \r(x) 和x2＋y2＝ eq \f(1,5) 都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝2x＋ eq \f(1,2) C．y＝ eq \f(1,2) x＋1 D．y＝ eq \f(1,2) x＋ eq \f(1,2) 二、真题溯源 [教材P104第13题] 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值． 三、类法探究 导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 类型一　两曲线的公切线问题 　已知函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝bx－x3(a，b∈R).若b－a＝6，是否存在直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切？若存在，求出直线l的方程(若直线l的方程含参数，则用a表示)；若不存在，请说明理由． [解析]　设直线l与曲线y＝f(x)相切于点A(x1，y1)，与曲线y＝g(x)相切于点B(x2，y2)，f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝b－3x2， 曲线y＝f(x)在点A处的切线为y－(x eq \o\al(3,1) ＋ax1)＝(3x eq \o\al(2,1) ＋a)(x－x1)， 即y＝(3x eq \o\al(2,1) ＋a)x－2x eq \o\al(3,1) . 曲线y＝g(x)在点B处的切线为y－(bx2－x eq \o\al(3,2) )＝(b－3x eq \o\al(2,2) )(x－x2)， 即y＝(b－3x eq \o\al(2,2) )x＋2x eq \o\al(3,2) ， 则eq \o\al(2,1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋a＝b－3x eq \o\al(2,2) ，,－2x eq \o\al(3,1) ＝2x eq \o\al(3,2) ，)) 则eq \o\al(2,1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋3x eq \o\al(2,2) ＝b－a＝6，,x1＝－x2，)) 所以6x eq \o\al(2,1) ＝6，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝－1，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,x2＝1，)) 当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝－1)) 时，直线l：y＝(3＋a)x－2； 当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,x2＝1)) 时，直线l：y＝(3＋a)x＋2. 故存在直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，直线l的方程为y＝(3＋a)x－2或y＝(3＋a)x＋2. 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 类型二　与公切线有关的求值问题 　若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－1和y＝ex－1的公切线，则实数k的值是(　　) A．e－1　　　 B．e C．0　　　 D．1 [解析]　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－1，y＝ex－1分别相切于点A(x1，－1)，B(x2，)， 对函数y＝ex－1求导得y′＝ex，则k＝， 曲线y＝ex－1在点A处的切线方程为y－＋1＝ex1(x－x1)，即y＝x＋(1－x1) －1. 对函数y＝ex－1求导得y′＝ex－1，则k＝， 曲线y＝ex－1在点B处的切线方程为y－＝ (x－x2)，即y＝x＋(1－x2) ， 化简可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x2＝1，,k＝1，,b＝0.)) 故选D. [答案]　D 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． 类型三　判断公切线条数 　已知f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线条数为(　　) A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．3 [解析]　根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)， 对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋em(1－m)－1， 对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝ eq \f(1,x) ，则k2＝ eq \f(1,n) ， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝ eq \f(1,n) (x－n)， 即y＝ eq \f(1,n) x＋ln n，直线l是f(x)与g(x)的公切线， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(em＝\f(1,n)，,(1－m)em＝ln n＋1，)) 解得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1或y＝x，切线有两条．故选C. [答案]　C 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 类型四　求参数的取值或范围 　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． [解析]　令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝ eq \f(1,x＋1) ，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)， 则 eq \f(1,x0＋1) ＝2，得x0＝－ eq \f(1,2) ， 则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋1)) ＋a， 所以a＝ln 2. [答案]　ln 2 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数图象的交点问题，利用函数的性质或图象求解． $$