5.2.2 导数的四则运算法则(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 第五章　一元函数的导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.2　导数的四则运算法则 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 学业标准 素养目标 1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 1．通过导数的四则运算法则的学习，培养数学运算等核心素养． 2．通过利用导数的四则运算法则求复杂函数的导数，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 导学　导数的运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝ eq \f(1,x) . 　f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－ eq \f(1,x2) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 　试求Q(x)＝x＋ eq \f(1,x) ，H(x)＝x－ eq \f(1,x) 的导数． [提示]　∵Δy＝(x＋Δx)＋ eq \f(1,x＋Δx) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) ＝Δx＋ eq \f(－Δx,x(x＋Δx)) ， ∴ eq \f(Δy,Δx) ＝1－ eq \f(1,x(x＋Δx)) ， ∴Q′(x)＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do14(Δ x→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x(x＋Δx)))) ＝1－ eq \f(1,x2) . 同理H′(x)＝1＋ eq \f(1,x2) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差． 　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？ [提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0， 而f′(x)g′(x)＝1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2))) ＝－ eq \f(1,x2) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ◎结论形成 导数的四则运算法则 设两个函数分别为f(x)和g(x)，则： 两个函数和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝__________________ 两个函数差的导数 [f(x)－g(x)]′＝__________________ 两个函数积的导数 [f(x)g(x)]′＝_______________________，特别地有[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数). 两个函数商的导数 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x)))) ′＝________________________[g(x)≠0] eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(　　) (2)函数f(x)＝xex＋1的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(　　) (3)函数f(x)＝sin 2x的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (4)若f′(x)＝2x＋1，则f(x)＝x2＋x.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 2．已知函数f(x)＝sin x＋cos eq \f(π,3) ，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) ＝(　　) A. eq \r(　,3) 　　　　　　　　 B． eq \f(\r(　,3),2) C． eq \f(\r(　,3)＋1,2) D． eq \f(\r(　,3)－1,2) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　因为f(x)＝sin x＋cos eq \f(π,3) ，则f′(x)＝cos x， 故f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) ＝cos eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(　,3),2) . 故选B. 答案　B 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 3．函数y＝ eq \f(cos x,x) 的导数是(　　) A．－ eq \f(sin x,x2) B．－sin x C．－ eq \f(x sin x＋cos x,x2) D．－ eq \f(x cos x＋cos x,x2) 解析　y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos x,x))) ′＝ eq \f((cos x)′·x－cos x·x′,x2) ＝ eq \f(－x sin x－cos x,x2) ＝－ eq \f(x sin x＋cos x,x2) . 答案　C 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 4．函数y＝x ln x的导数为________． 答案　ln x＋1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型一　导数的四则运算(一题多解) 　(1)函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是__________； (2)函数y＝2xcos x－3x ln x的导数是________； (3)函数y＝ eq \f(x－1,x＋1) 的导数是________． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [解析]　(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)y′＝(2xcos x－3x ln x)′ ＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′ln x＋x(ln x)′] ＝2xln 2cos x－2xsin x－3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln x＋x·\f(1,x))) ＝2xln 2cos x－2xsin x－3ln x－3. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * (3)y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋1))) ′ ＝ eq \f((x－1)′(x＋1)－(x－1)(x＋1)′,(x＋1)2) ＝ eq \f((x＋1)－(x－1),(x＋1)2) ＝ eq \f(2,(x＋1)2) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 答案　(1)y′＝18x2－8x＋9 (2)y′＝2x ln 2 cos x－2x sin x－3 ln x－3 (3)y′＝ eq \f(2,(x＋1)2) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 求导数的两点要求 (1)先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数． (2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 1．求下列各函数的导数． (1)y＝( eq \r(x) ＋1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－1)) ； (2)y＝x－sin eq \f(x,2) cos eq \f(x,2) ； (3)y＝ eq \f(x2,sin x) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　(1)化简得y＝ eq \r(x) · eq \f(1,\r(x)) － eq \r(x) ＋ eq \f(1,\r(x)) －1＝－x eq \s\up16(\f(1,2)) ＋x eq \s\up16(－\f(1,2)) ， ∴y′＝－ eq \f(1,2) x eq \s\up16(－\f(1,2)) － eq \f(1,2) x eq \s\up16(－\f(3,2)) ＝ eq \f(－1,2\r(x)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x))) . (2)∵y＝x－sin eq \f(x,2) cos eq \f(x,2) ＝x－ eq \f(1,2) sin x， ∴y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)sin x)) ′＝x′－ eq \f(1,2) (sin x)′＝1－ eq \f(1,2) cos x. (3)y′＝ eq \f((x2)′sin x－x2(sin x)′,sin2x) ＝ eq \f(2x sin x－x2cos x,sin2x) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型二　利用导数求曲线的切线方程 　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [解析]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0). 即7x＋y－3＝0. 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 2．(2023·全国甲卷)曲线y＝ eq \f(ex,x＋1) 在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2))) 处的切线方程为(　　) A．y＝ eq \f(e,4) x　　　　　 B．y＝ eq \f(e,2) x C．y＝ eq \f(e,4) x＋ eq \f(e,4) D．y＝ eq \f(e,2) x＋ eq \f(3e,4) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　设曲线y＝ eq \f(ex,x＋1) 在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2))) 处的切线方程为y－ eq \f(e,2) ＝k(x－1)， 因为y＝ eq \f(ex,x＋1) ， 所以y′＝ eq \f(ex(x＋1)－ex,(x＋1)2) ＝ eq \f(xex,(x＋1)2) ， 所以k＝y′|x＝1＝ eq \f(e,4) ， 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 所以y－ eq \f(e,2) ＝ eq \f(e,4) (x－1)， 所以曲线y＝ eq \f(ex,x＋1) 在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2))) 处的切线方程为 y＝ eq \f(e,4) x＋ eq \f(e,4) . 故选C. 答案　C 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 题型三　导数运算法则的综合应用(一题多变) 　已知函数f(x)＝ eq \f(ax－6,x2＋b) 的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [解析]　由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，由切点为M得f′(－1)＝－ eq \f(1,2) . ∵f′(x)＝ eq \f(a(x2＋b)－2x(ax－6),(x2＋b)2) ， 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－a－6,1＋b)＝－2，,\f(a(1＋b)－2(a＋6),(1＋b)2)＝－\f(1,2)，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2b－4，,\f(a(1＋b)－2(a＋6),(1＋b)2)＝－\f(1,2)．)) 解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去). 所以所求的函数解析式为f(x)＝ eq \f(2x－6,x2＋3) . 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [母题变式] (变条件)若将本例题改为“已知函数f(x)＝ eq \f(a ln x,x＋1) ＋ eq \f(b,x) ，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0”，则a，b的值分别为________． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　f′(x)＝ eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)－ln x)),(x＋1)2) － eq \f(b,x2) . 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－ eq \f(1,2) ，且过点(1，1)， 故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(1)＝1，,f′(1)＝－\f(1,2)，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)．)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.)) 答案　1，1 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [素养聚焦] 利用导数的运算法则解决切线问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * [触类旁通] 3．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝ eq \f(ex＋2sin x,1＋x2) ，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． eq \f(1,6) 　　 B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) 　　 D． eq \f(2,3) 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 解析　f′(x)＝ eq \f((ex＋2cos x)(1＋x2)－(ex＋2sin x)·2x,(1＋x2)2) ， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)) ，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 eq \f(1,2) ×1× eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) ，故选A. 答案　A 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 知识落实 技法强化 (1)导数的运算法则． (2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第五章　一元函数的导数及其应用 * 谢谢观看 4691.psd $$