4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第四章　数 列 * 第四章　数 列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 栏目导航 第四章　数 列 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　数 列 * 学业标准 素养目标 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和． (重点) 3．能利用等比数列的前n项和解决实际问题．(难点) 1．通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理、数学抽象等核心素养． 2．通过运用错位相减法求和，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 栏目导航 第四章　数 列 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 导学　等比数列的前n项和公式 　已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. (1)若q＝1，则Sn与a1有何关系？ (2)若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？ 栏目导航 第四章　数 列 * [提示]　(1)Sn＝na1. (2)能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 两边同乘以q，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴当q≠1时，Sn＝ eq \f(a1(1－qn),1－q) . 栏目导航 第四章　数 列 * ◎结论形成 等比数列的前n项和公式 已知量　 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1(q＝1)，, , ,______________(q≠1))) Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1(q＝1)，, , ,______________(q≠1))) eq \f(a1(1－qn),1－q) eq \f(a1－anq,1－q) 栏目导航 第四章　数 列 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝ eq \f(a1(1－qn),1－q) 来求．(　　) (2)首项为a(a≠0)的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) 栏目导航 第四章　数 列 * (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若数列{an}的前n项和Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,1－2n，n≥2.)) 则数列{an}不是等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 栏目导航 第四章　数 列 * 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　　 　　　 B．29－2 C．210－2 D．211－2 解析　因为q＝ eq \f(a2,a1) ＝2，且a1＝2，所以S10＝ eq \f(a1(1－q10),1－q) ＝ eq \f(2(1－210),1－2) ＝2(210－1)＝211－2. 答案　D 栏目导航 第四章　数 列 * 3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　　 B．－4 C．2　　　 D．－2 解析　由S5＝ eq \f(a1[1－(－2)5],1－(－2)) ＝44，得a1＝4. 答案　A 栏目导航 第四章　数 列 * 4．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________． 解析　∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q， ∴q＝2，∵a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2， ∴Sn＝ eq \f(2(1－2n),1－2) ＝2n＋1－2. 答案　2　2n＋1－2 栏目导航 第四章　数 列 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算(一题多解) 　在等比数列{an}中． (1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝ eq \f(3,2) ，S3＝ eq \f(9,2) ，求a1和公比q. 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4，∴16＝q4， ∴q＝2(负的舍去). ∴S7＝ eq \f(a1(1－q7),1－q) ＝ eq \f(1－27,1－2) ＝127. 栏目导航 第四章　数 列 * (2)法一　由公式Sn＝ eq \f(a1(1－qn),1－q) ，an＝a1qn－1 以及已知条件得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(189＝\f(a1(1－2n),1－2)，,96＝a1·2n－1.)) ∴a1·2n＝192，∴2n＝ eq \f(192,a1) . ∴189＝a1(2n－1)＝a1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(192,a1)－1)) ，∴a1＝3. 又2n－1＝ eq \f(96,3) ＝32，∴n＝6. 栏目导航 第四章　数 列 * 法二　由公式Sn＝ eq \f(a1－anq,1－q) 及已知条件得189＝ eq \f(a1－96×2,1－2) ， 解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3×2n－1，解得n＝6. (3)①当q≠1时，S3＝ eq \f(a1(1－q3),1－q) ＝ eq \f(9,2) ， 又a3＝a1·q2＝ eq \f(3,2) ， 栏目导航 第四章　数 列 * ∴a1(1＋q＋q2)＝ eq \f(9,2) ，即 eq \f(\f(3,2),q2) (1＋q＋q2)＝ eq \f(9,2) ， 解得q＝－ eq \f(1,2) (q＝1舍去)，∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝ eq \f(3,2) . 综上得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,q＝－\f(1,2))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(3,2)，,q＝1.)) 栏目导航 第四章　数 列 * 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn， eq \f(a1,1－q) 都可看作一个整体． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　　　　　 B．12 C．6 D．3 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　法一　设等比数列{an}的公比为q， 易知q≠1.由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1(1＋q＋q2)＝168，,a1q(1－q3)＝42，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，)) 所以a6＝a1q5＝3，故选D. 栏目导航 第四章　数 列 * 法二　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1. 由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S3＝168，,a2－a5＝42，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1(1－q3),1－q)＝168，,a1q(1－q3)＝42，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，)) 所以a6＝a1q5＝3，故选D. 答案　D 栏目导航 第四章　数 列 * 题型二　错位相减法求数列前n项和(一题多变) 　已知等比数列{an}满足a1＝ eq \f(1,2) ，a1，a2，a3－ eq \f(1,8) 成等差数列，公比q∈(0，1)， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝ eq \f(1,2) ， 因为a1，a2，a3－ eq \f(1,8) 成等差数列， 所以2a2＝a1＋a3－ eq \f(1,8) ，即得4q2－8q＋3＝0， 解得q＝ eq \f(1,2) 或q＝ eq \f(3,2) ，又因为q∈(0，1)，所以q＝ eq \f(1,2) ， 所以an＝ eq \f(1,2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(n－1) ＝ eq \f(1,2n) . 栏目导航 第四章　数 列 * (2)根据题意得bn＝nan＝ eq \f(n,2n) ，Sn＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(2,22) ＋ eq \f(3,23) ＋…＋ eq \f(n,2n) ，① eq \f(1,2) Sn＝ eq \f(1,22) ＋ eq \f(2,23) ＋ eq \f(3,24) ＋…＋ eq \f(n,2n＋1) ，② ①－②得 eq \f(1,2) Sn＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,22) ＋ eq \f(1,23) ＋…＋ eq \f(1,2n) － eq \f(n,2n＋1) ＝ eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up20(n))),1－\f(1,2)) － eq \f(n,2n＋1) ＝1－ eq \f(1,2n) － eq \f(n,2n＋1) ，则Sn＝2－ eq \f(n＋2,2n) . 栏目导航 第四章　数 列 * [母题变式] 1．(变条件)本题中设cn＝ eq \f(n,an) ，求数列{cn}的前n项和S′n. 解析　由题意知cn＝n·2n，所以S′n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，2S′n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1， 两式相减得：－S′n＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝ eq \f(2(1－2n),1－2) －n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以S′n＝(n－1)·2n＋1＋2. 栏目导航 第四章　数 列 * 2．(变条件)本题中设dn＝(2n－1)an，求数列{dn}的前n项和Tn. 解析　由题意可得 Tn＝1× eq \f(1,2) ＋3× eq \f(1,22) ＋…＋(2n－1)× eq \f(1,2n) ， eq \f(1,2) Tn＝1× eq \f(1,22) ＋3× eq \f(1,23) ＋…＋(2n－3)× eq \f(1,2n) ＋(2n－1)× eq \f(1,2n＋1) ， 栏目导航 第四章　数 列 * 两式相减得 eq \f(1,2) Tn＝1× eq \f(1,2) ＋2× eq \f(1,22) ＋…＋2× eq \f(1,2n) －(2n－1)× eq \f(1,2n＋1) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(1－\f(1,2n－1),1－\f(1,2)) －(2n－1)× eq \f(1,2n＋1) ＝ eq \f(3,2) － eq \f(1,2n－1) － eq \f(2n－1,2n＋1) ， 所以Tn＝3－ eq \f(4,2n) － eq \f(2n－1,2n) ＝3－ eq \f(2n＋3,2n) . 栏目导航 第四章　数 列 * [素养聚焦] 通过运用错位相减法求和，把数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 栏目导航 第四章　数 列 * 错位相减法的适用题目及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)注意事项 ①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差． ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况． 栏目导航 第四章　数 列 * 题型三　等比数列前n项和的性质 　(1)(2024·渭南模拟)已知等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 的前n项和为Sn，若S3＝10，S6＝20，则S9＝(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝__________． 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)因为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6(S3≠0)成等比数列，即10，10，S9－20成等比数列，显然S9－20＝10⇒S9＝30， 故选B. (2)由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160.)) 所以q＝ eq \f(S偶,S奇) ＝ eq \f(－160,－80) ＝2. 答案　(1)B　(2)2 栏目导航 第四章　数 列 * 等比数列前n项和性质的应用 (1)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1). (2)若项数为2n，则 eq \f(S偶,S奇) ＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则 eq \f(S奇－a1,S偶) ＝ q(S偶≠0). 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 2．(2024·揭阳模拟)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a7＝a3q4， 所以q4＝ eq \f(a5＋a7,a1＋a3) ＝ eq \f(1,2) . 又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8× eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)) ＝2， a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8× eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3)) ＝1， 所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.故选C. 答案　C 栏目导航 第四章　数 列 * 3．若等比数列{an}的公比为 eq \f(1,3) ，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________． 解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100， 则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知 eq \f(Y,X) ＝q＝ eq \f(1,3) ， 所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80. 答案　80 栏目导航 第四章　数 列 * 知识落实 技法强化 (1)等比数列前n项和公式的推导． (2)等比数列前n项和公式的基本运算． (3)错位相减法． (1)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． (2)应用等比数列前n项和的性质要注意使用整数的思想，即常把qn、Sn等看作一个整体． 栏目导航 第四章　数 列 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 谢谢观看 4691.psd $$