4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第四章　数 列 * 第四章　数 列 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 栏目导航 第四章　数 列 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　数 列 * 学业标准 素养目标 1．理解等比数列的定义． 2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点) 3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 4．掌握等比数列的性质并能进行应用．(重点、难点) 1．通过等比数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过等比数列的判定与证明，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．借助等比数列解决实际问题，提升数学建模、数学运算等核心素养． 栏目导航 第四章　数 列 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 导学1　等比数列的定义 观察下面几个数列： (1)4，－4，4，－4，…； (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，…，263； 栏目导航 第四章　数 列 * (3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利计算，5年内各年末的本利和依次为10 000×1.05，10 000×1.052，…，10 000×1.055. 栏目导航 第四章　数 列 * 　上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？ [提示]　不是． 　这三个数列，从第2项起与前一项的比有什么特点？ [提示]　都等于同一个常数． 栏目导航 第四章　数 列 * 同一个常数 公比 q ◎结论形成 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于______________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______(q≠0)表示． 栏目导航 第四章　数 列 * 导学2　等比中项 　观察“导学1”中的三个数列，每个数列中任意连续三项之间有何关系？ [提示]　中间一项的平方等于它前一项与后一项之积． 栏目导航 第四章　数 列 * 等比数列 ab ◎结论形成 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫做a，b的等比中项，此时，G2＝________． 栏目导航 第四章　数 列 * 导学3　等比数列的通项公式 　若数列{an}为等比数列，公比为q，则a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以得出什么结论呢？ [提示]　an＝a1qn－1. 栏目导航 第四章　数 列 * a1qn－1 ◎结论形成 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝_________． 栏目导航 第四章　数 列 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 栏目导航 第四章　数 列 * 2．两个数4和9的等比中项是(　　) A．6　　　　　　　　 B．±6 C． eq \f(13,2) D．± eq \f(13,2) 解析　设4和9的等比中项为a，则a2＝4×9，所以a＝±6. 答案　B 栏目导航 第四章　数 列 * 3．等比数列的首项为 eq \f(9,8) ，末项为 eq \f(1,3) ，公比为 eq \f(2,3) ，则这个数列的项数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　∵ eq \f(1,3) ＝ eq \f(9,8) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(n－1) ，∴ eq \f(8,27) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(n－1) ， 即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(3) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(n－1) ， ∴n－1＝3，∴n＝4. 答案　B 栏目导航 第四章　数 列 * 4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝______． 解析　a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729. 答案　－729 栏目导航 第四章　数 列 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 题型一　等比数列的通项公式 　在等比数列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q， 那么 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝20，,a1q5＝160，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.)) 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 栏目导航 第四章　数 列 * 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 1．在等比数列{an}中． (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； (2)若a4＝2，a7＝8，求an. 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝ eq \f(a2,a1) ＝－3，∴a5＝405. (2)∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q3＝2，①,a1q6＝8，②)) 由 eq \f(②,①) 得q3＝4，从而q＝ eq \r(3,4) ，而a1q3＝2， ∴a1＝ eq \f(2,q3) ＝ eq \f(1,2) ，∴an＝a1qn－1＝2 eq \s\up6(\f(2n－5,3)) . 栏目导航 第四章　数 列 * 题型二　等比数列的判定与证明(一题多变) 　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． [解析]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2). 当n≥2时， eq \f(an＋1,an) ＝ eq \f(2n,2n－1) ＝2；当n＝1时， eq \f(an＋1,an) ＝ eq \f(a2,a1) ＝ eq \f(2,2＋a) . 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． 栏目导航 第四章　数 列 * [母题变式] 1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”，求证数列{an}是等比数列． 证明　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝ eq \f(1,2) an.又S1＝2－a1，∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝ eq \f(1,2) an知an≠0，∴ eq \f(an＋1,an) ＝ eq \f(1,2) ，∴{an}是等比数列． 栏目导航 第四章　数 列 * 2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”，证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 解析　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1). 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以 eq \f(an＋1＋1,an＋1) ＝2(n∈N*). 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. 栏目导航 第四章　数 列 * [素养聚焦] 借助等比数列的判定与证明，把数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 栏目导航 第四章　数 列 * 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足 eq \f(an＋1,an) ＝q(q为常数且不为零)或 eq \f(an,an－1) ＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若a eq \o\al(2,n＋1) ＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． 栏目导航 第四章　数 列 * 题型三　灵活设项求解等比数列 　已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－ eq \f(3,2) ，则这4个数为________． [解析]　设此4个数为a，aq，aq2，aq3. 则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－ eq \f(3,2) ，① 所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－ eq \f(1,4) q＋1＝0，此方程无解； 栏目导航 第四章　数 列 * 当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得 q2＋ eq \f(17,4) q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－ eq \f(1,4) . 当q＝－4时，a＝－ eq \f(1,8) ； 当q＝－ eq \f(1,4) 时，a＝8. 所以这4个数为8，－2， eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,8) 或－ eq \f(1,8) ， eq \f(1,2) ，－2，8. 答案　8，－2， eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,8) 或－ eq \f(1,8) ， eq \f(1,2) ，－2，8 栏目导航 第四章　数 列 * 巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d；若三个数成等比数列，常设成 eq \f(a,q) ，a，aq或a，aq，aq2. (2)若四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；若四个数成等比数列，可设为 eq \f(a,q3) ， eq \f(a,q) ，aq，aq3(只适合数列的各项同正或同负)或 eq \f(a,q) ，a，aq，aq2. 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 2．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． 解析　由题意设此四个数为 eq \f(b,q) ，b，bq，a， 则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b3＝－8，,2bq＝a＋b，,ab2q＝－80，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝－2，,q＝－2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－2，,q＝\f(5,2)．)) 所以这四个数为1，－2，4，10或－ eq \f(4,5) ，－2，－5，－8. 栏目导航 第四章　数 列 * 知识落实 技法强化 (1)等比数列的概念． (2)等比数列的通项公式． (3)等比数列的证明． (4)等比数列中设项问题． (1)等比数列的证明 ①利用定义： eq \f(an＋1,an) ＝q(与n无关的常数). ②利用等比中项：a eq \o\al(2,n＋1) ＝anan＋2(n∈N*). (2)两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(± eq \r(ab) )，而不是一个( eq \r(ab) )，这是容易忽视的地方． (3)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． 栏目导航 第四章　数 列 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 谢谢观看 4691.psd $$