4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

栏目导航 第四章　数 列 * 第四章　数 列 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及简单表示 栏目导航 第四章　数 列 * 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　数 列 * 学业标准 素养目标 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念，并能简单应用．(难点) 4．能利用等差数列的性质解决相关的问题．(重点、难点) 1．通过等差数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．根据等差数列的判断与证明，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过等差数列性质的学习，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 栏目导航 第四章　数 列 * 01 课前案·自主学习 栏目导航 4687.psd 4693.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 导学1　等差数列的定义 1．奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48，53，58，63. 2．鞋的尺码，按照国家规定，有22，22.5，23，23.5，24，24.5，…. 栏目导航 第四章　数 列 * 　上面两组数能构成数列吗？ [提示]　能． 　若上面两组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点． [提示]　各等于同一个常数． 栏目导航 第四章　数 列 * 第2项 前一项 同一个常数 公差 d ◎结论形成 定义：如果一个数列从__________起，每一项与它的__________的差等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母______表示． 栏目导航 第四章　数 列 * 导学2　等差中项 　已知等差数列2，5，8，11，14，17，任意连续三项之间有什么样的关系？ [提示]　三个数成等差数列，且前一项与后一项的和是中间项的2倍． 栏目导航 第四章　数 列 * A 2A＝a＋b ◎结论形成 等差中项：如果三个数a，A，b成等差数列，这时______叫做a与b的等差中项，并且________________． 栏目导航 第四章　数 列 * 导学3　等差数列的通项公式 若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d. 　试用a1，d表示a2，a3，a4. [提示]　a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d. 　由此猜想等差数列的通项公式an. [提示]　an＝a1＋(n－1)d. 栏目导航 第四章　数 列 * an＋1－an a1＋(n－1)d ◎结论形成 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则： 递推公式 通项公式 ______________＝d an＝_________________ 栏目导航 第四章　数 列 * 导学4　从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d). (1)an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值； (2) 函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象表示的是斜率为d，截距为a1－d的直线，(n，an)为该直线上的点； (3)任意一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，都可以构成等差数列{kn＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k. 栏目导航 第四章　数 列 * 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，1，1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)任意两个实数都有等差中项．(　　) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 栏目导航 第四章　数 列 * 2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　) A．4－2n　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析　∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案　C 栏目导航 第四章　数 列 * 3．(多选题)数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为7的等差数列 D．是公差为n的等差数列 解析　∵an＝2n＋5＝2(n－1)＋7， ∴首项a1＝7，公差d＝2， 故选AC. 答案　AC 栏目导航 第四章　数 列 * 4．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　) A． eq \r(5) B．± eq \r(5) C．3 D．±3 答案　C 栏目导航 第四章　数 列 * 02 课堂案·互动探究 栏目导航 4688.psd 4699.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 题型一　等差数列的通项公式及应用 　在等差数列{an}中． (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝－1，,a1＋7d＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.)) (2)设数列{an}的公差为d. 由已知得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋5d＝12，,a1＋3d＝7，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.)) ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 栏目导航 第四章　数 列 * 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 1．2 024是等差数列4，6，8，…的(　　) A．第1 008项　　　　　　 B．第1 009项 C．第1 010项 D．第1 011项 解析　∵此等差数列的公差d＝2， ∴an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2 024＝2n＋2， ∴n＝1 011. 答案　D 栏目导航 第四章　数 列 * 2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解析　设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋(15－1)d＝33，,a1＋(61－1)d＝217，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－23，,d＝4.)) 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*， 所以153是所给数列的第45项． 栏目导航 第四章　数 列 * 题型二　等差中项的应用 　已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式． [解析]　∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6. ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝12，,a2·a4＝11，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a4＝11.)) 当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1，)) 时， a1＝16，d＝－5，∴an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21. 当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a4＝11，)) 时，a1＝－4，d＝5， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9. 栏目导航 第四章　数 列 * 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝ eq \f(a＋c,2) (或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*). 栏目导航 第四章　数 列 * [触类旁通] 3．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 栏目导航 第四章　数 列 * 解析　∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项，则b＝ eq \f(－1＋7,2) ＝3， 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝ eq \f(－1＋3,2) ＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝ eq \f(3＋7,2) ＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 栏目导航 第四章　数 列 * 题型三　等差数列的判定与证明(一题多变) 　已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝ eq \f(2an,an＋2) . (1)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 是否为等差数列？请说明理由； (2)求an. 栏目导航 第四章　数 列 * [解析]　(1)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝ eq \f(2an,an＋2) ， ∴ eq \f(1,an＋1) ＝ eq \f(an＋2,2an) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,an) ， ∴ eq \f(1,an＋1) － eq \f(1,an) ＝ eq \f(1,2) ， 栏目导航 第四章　数 列 * 即 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 是首项为 eq \f(1,a1) ＝ eq \f(1,2) ， 公差为d＝ eq \f(1,2) 的等差数列． (2)由上述可知 eq \f(1,an) ＝ eq \f(1,a1) ＋(n－1)d＝ eq \f(n,2) ， ∴an＝ eq \f(2,n) . 栏目导航 第四章　数 列 * [母题变式] 1．(变条件、变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝ eq \f(2an,an＋2) ”换为“a1＝4，an＝4－ eq \f(4,an－1) (n>1)，记bn＝ eq \f(1,an－2) ”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 栏目导航 第四章　数 列 * (1)证明　bn＋1－bn＝ eq \f(1,an＋1－2) － eq \f(1,an－2) ＝ eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2) － eq \f(1,an－2) ＝ eq \f(an,2(an－2)) － eq \f(1,an－2) ＝ eq \f(an－2,2(an－2)) ＝ eq \f(1,2) . 又b1＝ eq \f(1,a1－2) ＝ eq \f(1,2) ， ∴数列{bn}是首项为 eq \f(1,2) ，公差为 eq \f(1,2) 的等差数列． 栏目导航 第四章　数 列 * (2)解析　由(1)知bn＝ eq \f(1,2) ＋(n－1)× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) n. ∵bn＝ eq \f(1,an－2) ，∴an＝ eq \f(1,bn) ＋2＝ eq \f(2,n) ＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(2,n) ＋2. 栏目导航 第四章　数 列 * 2．(变条件、变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝ eq \f(2an,an＋2) ”换为“a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”．试判断数列{an}是否是等差数列． 解析　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝ eq \f(3,2) ，但a2－a1＝1≠ eq \f(3,2) ，故数列{an}不是等差数列． [素养聚焦] 通过等差数列的判断与证明，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 栏目导航 第四章　数 列 * 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数) (n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 栏目导航 第四章　数 列 * 知识落实 技法强化 (1)等差数列的有关概念． (2)等差数列的通项公式． (3)证明等差数列的方法． 证明数列是等差数列时常用定义法、公式法．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． 栏目导航 第四章　数 列 * 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 4969.psd 4972.psd 栏目导航 第四章　数 列 * 谢谢观看 4691.psd $$