模块综合检测卷2(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

模块综合检测卷(二) (满分：150分，时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝(　　) A．24　　　　　　　 B．48 C．20 D．16 解析　∵a1＋2a8＋a15＝96，∴a8＝24， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. 故选A. 答案　A 2．一质点的运动方程为S＝60t－gt2(g＝10 m/s2)，则t＝5秒时的瞬时速度为(　　) A．20 m/s B．25 m/s C．10 m/s D．15 m/s 解析　因为S′＝60－gt，所以当t＝5时，S′＝60－5g＝10(m/s). 答案　C 3．(2024·沧州模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，若S4＝－4，S5＝0，则a1＝(　　) A．－8 B．－4 C．4 D．8 解析　设等差数列的公差为d， 由S5＝＝5a3＝0， 得a3＝0； 又a5＝S5－S4＝4， ∴2d＝a5－a3＝4，∴a1＝a3－2d＝0－4＝－4. 故选B. 答案　B 4．设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝exln x＋－1，则f′(1)＝(　　) A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e 解析　由题得f′(x)＝exln x＋－，所以f′(1)＝－＝e－1. 故选C. 答案　C 5．(2023·全国甲卷)设等比数列的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 解析　由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4， 即q3＋q4＝4q＋4q2， 即q3＋q2－4q－4＝0， 即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0. 由题知q>0，所以q＝2. 所以S4＝1＋2＋4＋8＝15. 答案　C 6．(2024·石家庄模拟)若数列满足b1＋3b2＋7b3＋…＋bn＝n，则数列的通项公式为(　　) A．bn＝2n B．bn＝2n C．bn＝ D．bn＝ 解析　因为b1＋3b2＋7b3＋…＋bn＝n①， 当n＝1时，b1＝1； 当n≥2时b1＋3b2＋7b3＋…＋bn－1＝n－1②， ①－②得bn＝1，所以bn＝. 当n＝1时bn＝也成立，所以bn＝. 故选D. 答案　D 7．(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　　) A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 解析　构造函数h(x)＝1－x2－cos x， x∈， 令g(x)＝h′(x)＝－x＋sin x， g′(x)＝－1＋cos x≤0， 所以g(x)≤g(0)＝0，因此，h(x)在上递减， 所以h＝a－b＜h(0)＝0，即a＜b. 另一方面，＝＝， 显然x∈时，tan x＞x， 所以＝＝＞1，即b＜c. 因此c＞b＞a.即选A. 答案　A 8．18世纪数学家欧拉在研究调和级数时得到了这样的成果：当n很大时，＝ln n＋r(r为常数).基于上述事实，已知a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>c>a 解析　由题意得， a＝－＝－－ ＝ln 40 000＋r－ln 30 000－r－＝ln －， 同理可得，b＝ln －，c＝ln －. 令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1， 故当x>1时，f′(x)<0，即函数f(x)在上单调递减， 而>>，所以f>f>f， 即b>c>a. 故选D. 答案　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是(　　) A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值 B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值 C．在x3处函数y＝f(x)有极大值 D．在x5处函数y＝f(x)有极大值 解析　根据导函数f′(x)的图象可知：x1，x4的两侧f′(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值；x2的两侧f′(x)左增右减，所以在x2处导函数y＝f′(x)有极大值． 根据导函数f′(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3处函数y＝f(x)有极大值．x5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x5处函数y＝f(x)有极小值．而x1，x2，x4左右两侧导函数符号相同，原函数f(x)不取得极值． 故选ABC. 答案　ABC 10．已知公差不为0的等差数列的前n项和为Sn，且a1＋3a2＝S6，则(　　) A．a7＝0 B．a2＋a6＝a8 C．S13＝0 D．S6＝S8 解析　由题意有a1＋3a2＝×6，化简整理得a1＋6d＝0， 所以a7＝0，选项A正确； a2＋a6＝2a1＋6d＝－6d，a8＝a1＋7d＝d，由于d≠0，所以a2＋a6≠a8，故选项B不正确； S13＝×13＝13a7＝0，故选项C正确； S6＝×6＝－21d， S8＝×8＝－20d， 由于d≠0，所以S6≠S8，故D不正确． 故选AC. 答案　AC 11．若函数exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．给出下列函数，不具有M性质的为(　　) A．f(x)＝ln x B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x3 解析　对于A，f(x)＝ln x，则g(x)＝exln x，则g′(x)＝ex，函数先递减再递增； 对于B，f(x)＝x2＋1， 则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)， g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x2＋2x＋1)≥0在实数集R上恒成立， ∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数； 对于C，f(x)＝sin x， 则g(x)＝exsin x，g′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝exsin ，显然g(x)不单调； 对于D，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝exx3， g′(x)＝exx3＋3exx2＝ex(x3＋3x2)＝exx2(x＋3)， 当x＜－3时，g′(x)＜0， ∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先减后增； ∴具有M性质的函数的序号为B，不具有M性质的函数的序号为A，C，D.故选ACD. 答案　ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等差数列中，前n项和记作Sn，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝____________． 解析　因为S15＝5， 所以＝5， 即＝5， 所以3a8＝a2＋a6＋ak， 所以ak＝3a8－＝3－(a1＋d＋a1＋5d)＝a1＋15d＝a1＋d， 所以k＝16. 答案　16 13．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1，1)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意知f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1，1)上恒成立，则a≥3x2在区间(－1，1)上恒成立，故a≥3. 答案　[3，＋∞) 14．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．请用函数f(x)＝ex“近似计算”的值为____________(结果用分数表示). 解析　函数f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1，函数f(x)＝ex在点(0，1)处的切线为y＝x＋1，所以f(x)＝ex在x＝0附近可以用y＝x＋1代替， 即f(x)＝ex≈x＋1，又非常接近0， f＝e＝≈＋1＝. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*. (1)求证：是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　由已知得 an＋1－＝an－＝. 因为a1＝，所以a1－＝， 所以是以为首项，为公比的等比数列． (2)解析　由(1)知，是以为首项，为公比的等比数列， 所以an－＝·， 所以an＝·＋. 16．(15分)已知函数f(x)＝－x3＋3x＋3. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[0，2]上的最大值和最小值． 解析　(1)因为函数f(x)＝－x3＋3x＋3，则f′(x)＝－3x2＋3， 令f′(x)>0⇒－3x2＋3>0⇒－1<x<1， f′(x)<0⇒－3x2＋3<0⇒x<－1或x>1， 故函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增；在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)可知函数f(x)在区间[0，1]上单调递增；在区间(1，2]上单调递减， 所以函数的极大值也为最大值 f(1)＝－13＋3×1＋3＝5. 两端点f(0)＝－03＋3×0＋3＝3， f(2)＝－23＋3×2＋3＝1， 即最小值为f(2)＝1， 故函数f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值分别为5和1. 17．(15分)(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和． 解析　(1)因为2Sn＝3an＋1－3， 所以2Sn＋1＝3an＋2－3， 两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1， 即an＋2＝an＋1， 所以等比数列{an}的公比为. 因为2S1＝3a2－3＝5a1－3， 所以a1＝1，故an＝. (2)因为2Sn＝3an＋1－3， 所以Sn＝(an＋1－1)＝， 设数列{Sn}的前n项和为Tn， 则Tn＝×－n＝×－n－. 18．(17分)(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列，的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求的通项公式； (2)若为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解析　(1)∵3a2＝3a1＋a3， ∴3d＝a1＋2d， 解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0， 解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝3n. (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3，即＝＋， ∴6＝＝， 即a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0， 又S99－T99＝99，由等差数列性质知， 99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， ∴a50－＝1， 即a－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去). 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51， 解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51， 解得d＝. 综上，d＝. 19．(17分)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x. (1)当a＝0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围． 解析　(1)当a＝0时，f(x)＝－－ln x，x＞0，则f′(x)＝－＝， 当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 所以f(x)max＝f(1)＝－1. (2)f(x)＝ax－－(a＋1)ln x，x＞0， 则f′(x)＝a＋－＝， 当a≤0时，ax－1≤0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 所以f(x)max＝f(1)＝a－1＜0，此时函数无零点，不合题意； 当0＜a＜1时，＞1，在(0，1)，上，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 在上，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 又f(1)＝a－1＜0，当x趋近正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大， 所以f(x)仅在上有唯一零点，符合题意； 当a＝1时，f′(x)＝≥0，所以f(x)单调递增，又f(1)＝a－1＝0， 所以f(x)有唯一零点，符合题意； 当a＞1时，＜1，在，(1，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 在上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，此时f(1)＝a－1＞0， 又f＝－an＋n(a＋1)ln a， 当n趋近正无穷大时，f趋近负无穷大， 所以f(x)在上有一个零点，在上无零点， 所以f(x)有唯一零点，符合题意． 综上，a的取值范围为(0，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$