阶段测评2(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

阶段测评(二)[4.3] 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知等比数列{an}的公比为，且a5a3＝2a4，则a6＝(　　) A．2　　　　　　　　 B．1 C． D． 解析　∵a5a3＝a＝2a4，∴a4＝2，∴a6＝a4×＝2×＝. 故选C. 答案　C 2．在递增等比数列{an}中，a3＝4，且3a5是a6和a7的等差中项，则a10＝(　　) A．256 B．512 C．1 024 D．2 048 解析　设等比数列{an}的公比为q， 因为3a5是a6和a7的等差中项，所以6a5＝a6＋a7，即6a5＝a5q＋a5q2. 又因为a5≠0，所以q2＋q－6＝0， 解得q＝2或q＝－3. 又因为等比数列{an}是递增数列，所以q＝2. 又因为a3＝4，所以a10＝a3q7＝4×27＝512. 故选B. 答案　B 3．若正项数列{an}满足－＝0，a4＋a5＝3，则a2＋a3＝(　　) A． B．1 C．6 D．12 解析　由－＝0可得＝， 即an＋1＝an， 即数列{an}是公比q＝的等比数列， 又a4＋a5＝3，可得a2q2＋a3q2＝(a2＋a3)q2＝3； 将q＝代入计算可得a2＋a3＝3×4＝12. 故选D. 答案　D 4．(2023·天津卷)已知为等比数列，Sn为数列的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3　　　 B．18 C．54　　　 D．152 解析　由题意可得：当n＝1时，a2＝2a1＋2， 即a1q＝2a1＋2，① 当n＝2时，a3＝2＋2， 即a1q2＝2＋2，② 联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54. 故选C. 答案　C 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn－6＝2an，则的值为(　　) A． B． C． D．－ 解析　当n＝1时，得3a1－6＝2a1，解得a1＝6； 由3Sn－6＝2an，得3Sn＋1－6＝2an＋1，两式相减得3an＋1＝2an＋1－2an， 整理得an＋1＝－2an，故数列{an}是以6为首项，－2为公比的等比数列， 所以an＝6×(－2)n－1， Sn＝＝2×[1－(－2)n]， 则＝＝. 故选A. 答案　A 6．已知数列{an}满足a1＝2，a2n＝a2n－1＋3n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n＋1(n∈N*)，则数列{an}的第2 023项为(　　) A． B． C． D． 解析　由a2n＋1＝a2n＋(－1)n＋1，a2n＝a2n－1＋3n，a2n＋1－a2n－1＝3n＋(－1)n＋1(n∈N*)， 所以a3－a1＝31＋(－1)2，a5－a3＝32＋(－1)3，a7－a5＝33＋(－1)4，…，a2 023－a2 021＝31 011＋(－1)1 012， 将上式相加得：a2 023＝a1＋(－1)2＋(－1)3＋…(－1)1 012＋3＋32＋33＋…＋31 011＝2＋1＋＝.故选A. 答案　A 7．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列选项中正确的是(　　) A．a1＝－1 B．S5＝－32 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn－1}是等比数列 解析　数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，　① 当n＝1时， a1＝－1，A正确； 当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，　② ①－②得an＝2an－2an－1，故an＝2an－1， 整理得＝2(常数)， 所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，C正确； 所以an＝(－1)×2n－1＝－2n－1. Sn＝＝1－2n. 所以S5＝1－25＝－31，B错误； 由于Sn＝1－2n，所以Sn－1＝－2n. 所以＝＝2， 所以数列{Sn－1}是等比数列，D正确； 故选ACD. 答案　ACD 8．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，则下列结论正确的是(　　) A．数列是等差数列 B．数列{S2n＋2－S2n}是等差数列 C．数列是等比数列 D．数列{lg Tn}是等差数列 解析　设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d，∴＝a1＋. 对于A选项，－＝a1＋－a1－＝，∴为等差数列，A正确； 对于B选项，令cn＝S2n＋2－S2n＝a2n＋2＋a2n＋1， ∴cn＋1－cn＝(a2n＋4＋a2n＋3)－(a2n＋2＋a2n＋1)＝4d，故数列{S2n＋2－S2n}是等差数列，B正确； 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)， 对于C选项，令dn＝＝b2n＋2·b2n＋1， 则＝＝q4，故数列是等比数列，C正确； 对于D选项，∵lg Tn＋1－lg Tn＝lg ＝lg bn＋1不一定为常数，故数列{lg Tn}不一定是等差数列，故D错误； 故选ABC. 答案　ABC 二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分) 9．已知等比数列{an}中，＝2，a4＝8，则a6＝________． 解析　设等比数列{an}的公比为q，则＝＝2，即q＝2，所以a6＝a4q2＝32. 答案　32 10．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是________毫克，若该患者坚持长期服用此药__________(填“有”或“无”)明显副作用． 解析　设该患者第n次服药后，药在他体内的残留量为an毫克， 由题意可得：a1＝200， a2＝200＋a1×(1－50%)＝200×1.5＝300， a3＝200＋a2×(1－50%)＝200＋200×1.5×0.5＝350，故第二天上午8时他第三次服药后，药在他体内的残留量为350毫克； 该患者若长期服用此药，则此药在体内残留量为＝400(1－0.5n)， ∵0.5n>0，则400(1－0.5n)<400，∴长期服用此药，不会产生副作用，即该患者长期服用该药，不会产生副作用． 答案　350　无 三、解答题(本题共4小题，共50分) 11．(12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－n＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n＋1－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2n－2. 所以an＝ (2)当n＝1时，＝. 当n≥2时，＝＝. Tn＝＋ 12．(12分)在数列{an}中，a1＝－1，an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*). (1)求证：数列{an＋3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)证明　∵an＝2an－1＋3n－6(n≥2，n∈N*)， ∴当n≥2时， ＝＝＝2， ∴数列{an＋3n}是首项为a1＋3＝2，公比为2的等比数列， ∴an＋3n＝2n，an＝2n－3n. (2)解析　bn＝an＋n＝2n－3n＋n＝2n－2n. 数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(21－2)＋(22－4)＋(23－6)＋…＋(2n－2n) ＝21＋22＋…＋2n－(2＋4＋6＋…＋2n) ＝－×n＝2n＋1－2－n(n＋1). 13．(13分)给出以下条件：①a2，a3＋2，a6＋4成等比数列；②S2，a6，S4＋4成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，________． (1)求{an}的通项公式； (2)令是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．) 解析　(1)选①，设递增等差数列{an}的公差为d(d>0)， 由a2＝2＋d，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d， 有(2＋2d＋2)2＝(2＋d)(2＋5d＋4)， 化简得d2＝4，则d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n，所以{an}的通项公式为an＝2n. 选②，设递增等差数列{an}的公差为d(d>0)， 由S2＝4＋d，a6＝2＋5d，S4＝8＋6d， 有(2＋5d)2＝(4＋d)(8＋6d＋4)， 化简得19d2－16d－44＝0， 即(19d＋22)(d－2)＝0，解得d＝2， 则an＝a1＋(n－1)d＝2n，所以{an}的通项公式为an＝2n. 选③，设递增等差数列{an}的公差为d(d>0)， 由是与的等差中项，得＋＝， 即(S2＋S5)a5＝2S2S5， 则有(4＋d＋10＋10d)(2＋4d)＝2(4＋d)(10＋10d)， 化简得12d2－11d－26＝0， 即(d－2)(12d＋13)＝0，解得d＝2， 则an＝a1＋(n－1)d＝2n，所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由是以1为首项，2为公比的等比数列，得＝2n－1， 由(1)知an＝2n，即有bn＝2n－1·2n＝n·2n， 则Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 于是2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1， 两式相减得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2， 因此Tn＝(n－1)2n＋1＋2. 14．(13分)在数列{an}中，a1＝6，(2n－1)an＝(4n＋2)an－1，n≥2且n∈N*. (1)设bn＝，证明{bn}是等比数列； (2)设Tn为数列{an}的前n项和，是否存在互不相等的正整数m，n，t满足2n＝m＋t，且Tm－2，Tn－2，Tt－2成等比数列？若存在，求出所有满足要求的m，n，t的值；若不存在，请说明理由． (1)证明　当n≥2时，bn－1＝， 由(2n－1)an＝(4n＋2)an－1， 得＝，即bn＝2bn－1， 又b1＝＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解析　由(1)得bn＝＝2n， ∴an＝(2n＋1)·2n， ∴Tn＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， 2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， 两式相减得－Tn＝6－(2n＋1)·2n＋1＋23＋24＋…＋2n＋1＝6－(2n＋1)·2n＋1＋＝6－(2n＋1)·2n＋1＋2n＋2－8＝－2＋(1－2n)·2n＋1， ∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2. 假设存在互不相等的正整数m，n，t满足2n＝m＋t，且Tm－2，Tn－2，Tt－2成等比数列，则(2n－1)2·22n＋2＝(2m－1)·2m＋1·(2t－1)·2t＋1， 即(2n－1)2·22n＋2＝(2m－1)(2t－1)·2m＋t＋2，又2n＝m＋t， ∴(m＋t－1)2＝(2m－1)(2t－1)， 整理可得(m－t)2＝0， 即m＝t，与m，n，t互不相等矛盾， ∴不存在互不相等的正整数m，n，t满足2n＝m＋t，且Tm－2，Tn－2，Tt－2成等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$