阶段测评1(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

阶段测评(一)[4.1～4.2] 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2　　　　　　　 B． C．1 D． 解析　设等差数列{an}的公差为d， 由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1， 得a1＋4d＝， 则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D. 答案　D 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－n，则a4＝(　　) A．－3 B．－5 C．－4 D．－6 解析　因为a1＝1，an＋1＝an－n(n∈N*)， 所以，a2－a1＝－1，a3－a2＝－2，a4－a3＝－3， 累加可得a4－a1＝－1－2－3＝－6， 解得a4＝a1－6＝1－6＝－5.故选B. 答案　B 3．在数列{an}中，an＋1＝若a1＝，则a2 024＝(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　a1＝<1，∴a2＝2a1＝<1， ∴a3＝2a2＝>1，∴a4＝2a3－3＝<1， ∴a5＝2a4＝，…，可以看出四个循环一次，故a2 024＝a4×505＋4＝a4＝. 故选A. 答案　A 4．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，所以＝＝＝＝＝. 故选B. 答案　B 5．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 解析　法一　设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得， a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5， 又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45， 解得d＝1，a1＝2， 所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20. 故选C. 法二　a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45， 所以a4＝5，a8＝9， 从而d＝＝1， 于是a3＝a4－d＝5－1＝4， 所以S5＝5a3＝20. 故选C. 答案　C 6．甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字10 000，游戏结束，则(　　) A．甲在第10轮报了33个数字 B．数字2 023是丙报的 C．甲共报了37轮 D．甲在前四轮所报数字之和为1 540 解析　甲乙丙丁第n轮的报数个数分别为4n－3，4n－2，4n－1，4n， 前n轮共报数个数为1＋2＋…＋4n＝2n＝8n2＋2n. 对选项A：甲在第10轮报了4×10－3＝37个数字，错误； 对选项B：当n＝15时，8n2＋2n＝1 830； 当n＝16时，8n2＋2n＝2 080. 故2 023在第16轮报数中，2 023>2 080－4×16＝2 016，故数字2 023是丁报的，错误； 对选项C：当n＝35时，8n2＋2n＝9 870<10 000；当n＝36时，8n2＋2n＝10 440>10 000，故甲报了36轮，错误； 对选项D：甲在前四轮所报数字之和为1＋(11＋…＋15)＋(37＋…＋45)＋(79＋…＋91)＝1 540，正确； 故选D. 答案　D 7．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－5，an＋1＝an＋3，则下列说法正确的是(　　) A．{an}是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列{Sn}中的最小项为S3 D．Sm，S2m，S3m(m∈N*)成等差数列 解析　因为an＋1＝an＋3，所以数列{an}为等差数列，公差为3， 因为a1＝－5，所以an＝－5＋3(n－1)＝3n－8，Sn＝＝； 对于A，因为an＋1－an＝3>0，所以{an}是递增数列，A正确； 对于B，因为－＝－＝>0，所以数列是递增数列，B正确； 对于C，因为a1<0，a2<0，a3＝1>0，所以数列{Sn}中的最小项为S2，C不正确； 对于D，当m＝1时，S1＝－5，S2＝－7，S3＝－6，显然不是等差数列，D不正确． 故选AB. 答案　AB 8．(多选题)数列{an}是等差数列，S8＝10，则下列说法正确的是(　　) A．a3＋a6为定值 B．若a1＝，则n＝5时Sn最大 C．若d＝，则使Sn为负值的n值有3个 D．若S4＝6，则S12＝12 解析　由数列{an}是等差数列，S8＝10，有＝10，即a1＋a8＝. 由等差数列性质得a3＋a6＝a1＋a8＝为定值，选项A正确． 当a1＝时，a8＝－11，公差d＝－，则数列{an}是递减数列， 则a4＝3，a5＝－，故n＝4时，Sn最大，选项B错误． 当d＝时，由于a1＋a8＝，则a1＝－， Sn＝－n＋×＝， 令Sn<0得0<n<3，又n∈N*， 故Sn为负值的n值有2个，选项C错误． 当S4＝6时，设{an}公差为d，则4a1＋6d＝6，结合a1＋a8＝，即2a1＋7d＝， 解得a1＝，d＝－， 故S12＝12a1＋×d＝12，选项D正确． 故选AD. 答案　AD 二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分) 9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a5＝10，S5＝20，则数列{an}的通项公式为an＝__________． 解析　设等差数列{an}的公差为d， 根据等差数列{an}的前n项和公式可得 S5＝＝5a3＝20，解得a3＝4， 又a5－a3＝2d，可得d＝3. 所以通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝3n－5. 答案　3n－5 10．无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则{an}称为“和谐递进数列”．若{an}为“和谐递进数列”，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，则a8＝________，S2 022＝________． 解析　因为{an}为“和谐递进数列”，且a1＝1， a2＝2，a4＝1， 即a1＝a4，则a2＝a5＝2，a3＝a6，a4＝a7＝1， a5＝a8＝2，…，an＝an＋3， 所以数列{an}是周期数列，且周期为3， 又a6＋a8＝6，所以a6＝4，则a3＝4， 所以a1＋a2＋a3＝1＋2＋4＝7， 且2 022＝3×674， 所以S2 022＝674(a1＋a2＋a3)＝4 718. 答案　2　4 718 三、解答题(本题共4小题，共50分) 11．(12分)在数列{an}中，已知an＝，且a2＝，a3＝. (1)求通项公式an； (2)求证：{an}是递增数列． (1)解析　由an＝，且a2＝，a3＝可得 解得 因此an＝. 所以，数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (2)证明　根据递增数列的定义可知， an＋1－an＝－ ＝ ＝>0， 即an＋1>an， 故{an}是递增数列． 12．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝13，S7＝13a1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：{}是等差数列． (1)解析　设等差数列{an}的公差为d， 由a4＝13，S7＝13a1，得a1＋3d＝13，7a1＋d＝13a1，解得a1＝7，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋5. (2)证明　结合(1)可得Sn＝na1＋d＝7n＋n2－n＝n2＋6n， 所以 ＝＝n＋3， 故 ＝1＋3＝4， －＝(n＋4)－(n＋3)＝1， 所以数列{}是以4为首项，以1为公差的等差数列． 13．(13分)数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn. (1)若an≥a6恒成立，求实数k的取值范围； (2)数列{an}仅第7项最小，求实数k的取值范围． 解析　(1)由an＝n2＋kn，得an＝n2＋kn＝－，对称轴为n＝－， 因为不等式an≥a6恒成立，所以≤－≤， 所以－13≤k≤－11， 即实数k的取值范围为[－13，－11]. (2)由an＝n2＋kn，得对称轴为n＝－， 因为数列{an}仅第7项最小， 所以<－<， 解得－15<k<－13， 即实数k的取值范围为(－15，－13). 14．(13分)在①a7＝1，②S8＝48，③a8＋a9＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40， (1)若________，求数列{an}的通项公式； (2)求Sn的最大值． 解析　(1)选①，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意得 解得a1＝13，d＝－2， 所以数列{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝－2n＋15. 选②，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意得 解得a1＝13，d＝－2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝13＋(n－1)·(－2)＝－2n＋15. 选③，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意得 解得a1＝13，d＝－2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝13＋(n－1)·(－2)＝－2n＋15. (2)由a1＝13，d＝－2， 所以Sn＝×n＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49， 所以当n＝7时，Sn取得最大值为49. 学科网（北京）股份有限公司 $$