第5章 一元导数及其应用 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

(满分：150分，时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　) A．e2　　　　　　　　 B．e C． D．ln 2 解析　∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，∵f′(x0)＝2，∴ln x0＋1＝2，∴x0＝e.故选B. 答案　B 2．一质点的运动方程为s＝20＋gt2(g＝9.8 m/s2)，则t＝3 s时的瞬时速度为(　　) A．20 m/s B．29.4 m/s C．49.4 m/s D．64.1 m/s 解析　v＝s′＝gt.所以当t＝3 s时，v＝3g＝29.4 m/s. 答案　B 3．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为(　　) A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0 C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0 解析　设切点坐标为(x0，y0)，y′＝4x，由题意得4x0＝4，解得x0＝1，所以y0＝2，故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. 答案　D 4．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析　f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)， f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B. 答案　B 5．函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 解析　由f′(2)，f′(3)的几何意义知f′(2)>f′(3)>0， 设A(2，f(2))，B(3，f(3))， 则kAB＝， 由图象知0<f′(3)<kAB<f′(2). 答案　B 6．设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有(　　) A．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a) 解析　∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋g′(x)·f(x)<0，∴函数y＝f(x)g(x)是减函数． ∴当a<x<b时，f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b).故选C. 答案　C 7．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在上的导函数为f′(x)，f′(x)在上的导函数记为f″(x)，若在上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在上为“凸函数”，已知f(x)＝－x3＋x2在上为“凸函数”，则实数t的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　由于f(x)＝－x3＋x2， 则f′(x)＝x3－tx2＋3x， 得f″(x)＝3x2－2tx＋3， 由于f(x)＝－x3＋x2在上为“凸函数”，所以f″(x)＝3x2－2tx＋3<0在上恒成立，即t>＋在上恒成立， 由对勾函数的性质知y＝＋＝在上单调递增， 于是y＝∈，故t≥.故选C. 答案　C 8．(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　因为f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a， 若f(x)存在3个零点，则f(x)存在极大值和极小值，则a<0， 令f′(x)＝3x2＋a＝0， 解得x＝－或x＝ ， 且当x∈∪时， f′(x)>0， 当x∈时，f′(x)<0， 故f(x)的极大值为f，极小值为f， 若f(x)存在3个零点，则 即解得a<－3， 故选B. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式不正确的是(　　) A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(cos x)′＝sin x C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－x－6 解析　由导数公式知选项A中(sin a)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6. 答案　ABD 10．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间可以为(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0，1)，故选AC. 答案　AC 11．(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2·(x－4)，则(　　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 解析　因为f(x)＝(x－1)2(x－4)， 所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)， 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3， 当x<1或x>3时，f′(x)>0； 当1<x<3时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，故x＝1是函数f(x)的极大值点，x＝3是函数f(x)的极小值点，所以A正确． 当0<x<1时，x－x2＝x(1－x)>0，即0<x2<x<1，又函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x2)<f(x)，所以B错误． 当1<x<2时，1<2x－1<3，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以－4＝f(3)<f(2x －1)<f(1)＝0，所以C正确． 当－1<x<0时，f(2－x)－f(x) ＝(2－x －1)2(2－x －4)－(x－1)2(x－4) ＝(x－1)2(－x －2)－(x－1)2(x－4) ＝(x－1)2(－2x＋2)＝－2(x－1)3>0， 所以f(2－x)>f(x)，所以D正确． 综上，选ACD. 答案　ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间为__________． 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝4x－＝≥0，得x≥. 答案　 13．设函数f(x)＝x ln x，则点(1，0)处的切线方程是_______；函数f(x)＝x ln x的最小值为_______． 解析　因为f′(x)＝ln x＋1，所以切线的斜率k＝f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1；令f′(x)＝0，解得x＝，当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝－. 答案　y＝x－1　－ 14．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________． 解析　易知函数f(x)的定义域关于原点对称． ∵f(x)＝x3－2x＋ex－， ∴f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数， 又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0(当且仅当x＝0时，取“＝”)，从而f(x)在R上单调递增， ∴f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2)⇔－2a2≥a－1，解得－1≤a≤. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程． 解析　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a. 因为f(x)在x＝3处取得极值， 所以f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0， 解得a＝3.经检验，a＝3满足题意． 所以f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8. (2)A点在f(x)上， 由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18， f′(1)＝6－24＋18＝0， 所以切线方程为y＝16. 16．(15分)设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0). (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值． 解析　函数f(x)的定义域为(0，2)， f′(x)＝－＋a， (1)当a＝1时，f′(x)＝， 令f′(x)>0，得0<x<； 令f′(x)<0，得<x<2. 所以f(x)的单调递增区间为(0, )，单调递减区间为(，2). (2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a>0， 即f(x)在区间(0，1]上单调递增，故f(x)在区间(0，1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝. 17．(15分)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝x－ln x－1. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点 处的切线方程； (2)当a>0时，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间． 解析　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－1， 则f(e)＝e－ln e－1＝e－2， 又f′(x)＝1－， 设所求切线l的斜率为k，则k＝f′＝1－， 则切线l的方程为y－＝， 化简得切线l的方程为x－y－1＝0. (2)g(x)＝ax2＋x－ln x－1，其定义域为(0，＋∞)， ∴g′(x)＝2ax＋2－a－ ＝＝， ∵a>0，∴ax＋1＞0， ∴当x∈时，g′(x)>0； 当x∈时，g′(x)<0. ∴g(x)的单调递增区间为， 单调递减区间为. 18．(17分)(2021·全国卷Ⅱ)已知a＞0，且a≠1，函数f(x)＝(x＞0). (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 解析　(1)当a＝2时，f(x)＝，f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0， ∴函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)f(x)＝＝1⇔ax＝xa⇔x ln a＝a ln x⇔＝，设函数g(x)＝， 则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e， 在(0，e)内g′(x)＞0，g(x)单调递增； 在(e，＋∞)内g′(x)＜0，g(x)单调递减； ∴g(x)max＝g(e)＝， 又g(1)＝0，当x趋近于＋∞时，g(x)趋近于0， 所以曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，即曲线y＝g(x)与直线y＝有两个交点的充分必要条件是0＜＜，即0＜g(a)＜g(e)， 所以a的取值范围是(1，e)∪(e，＋∞). 19．(17分)(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1. (1)解析　f(x)定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋1＝， 令f′(x)＝0⇒x＝1， 所以0＜x＜1时， f′(x)＜0，f(x)单调递减； x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； ∴f(x)min＝f(1)＝e＋1－a， 要使得f(x)≥0恒成立即满足f(x)min＝f(1)＝e＋1－a≥0⇒a≤e＋1. 所以a的取值范围是(－∞，e＋1]. (2)证明　由(1)知要使得f(x)有两个零点，则f(x)min＝f(1)＝e＋1－a＜0⇒e＋1＜a， 假设0＜x1＜1＜x2. 要证明x1x2＜1， 即证明1＜x2＜， 又由于f(x)在(1，＋∞)上单调递增，即证明f(x2)＜f⇔f(x1)＜f. 下面构造函数F(x)＝f(x)－f(0＜x＜1)， F′(x)＝f′(x)＋f′·＝， 由于ex＞ex⇒ex＋x＞ex＋x＝(e＋1)x，又函数y＝xe在(0，1)上单调递减， ∴xe＞e⇒－xe－1＜－e－1. ∴ex＋x－xe－1＜e＋1－e－1＝0， ∴0＜x＜1时，F′(x)＞0⇒F(x)在(0，1)单调递增，而F(1)＝f(1)－f(1)＝0， ∴F(x)＜0⇒f(x)＜f得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$