5.2.2 导数的四则运算法则(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 解析　D中，∵y＝sin x＋cos x，∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 答案　ABC 2．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　) A．y′＝cos2x＋sin2x　 B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cosx·sin x D．y′＝cos x·sin x 解析　y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x. 答案　B 3．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为(　　) A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0 解析　y′＝＝－， 当x＝1时，y′＝－1， 所以切线方程是y－1＝－(x－1)， 整理得x＋y－2＝0，故选B. 答案　B 4．(多选题)当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是(　　) A．a B．0 C．－a D．a2 解析　y′＝′＝＝，由x－a2＝0得x0＝±a. 答案　AC 5．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程是________． 解析　利用求导法则与求导公式可得y′＝(3ln x＋1)＋x·＝3ln x＋4. 所以k切＝y′|x＝1＝4， 所以切线方程为y－1＝4(x－1)， 即4x－y－3＝0. 答案　4x－y－3＝0 6．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________． 解析　∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1). ∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 答案　1 7．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________． 解析　f′(x)＝ 若f′(a)＝12，则或 解得a＝或a＝－4. 答案　或－4 8．求下列函数的导数． (1)y＝3x2＋x sin x； (2)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (3)y＝. 解析　(1)y′＝(3x2)′＋(x sin x)′ ＝6x＋sin x＋x(sin x)′ ＝6x＋sin x＋x cos x. (2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′ ＝2x(ex＋ln x)＋(x2＋3) ＝ex(x2＋2x＋3)＋2x ln x＋x＋. (3)y′＝′＝＝. [关键能力·综合提升] 9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)＝(　　) A．－3 B．2e C． D． 解析　因为f′(1)为常数， 所以f′(x)＝2exf′(1)＋， 所以f′(1)＝2ef′(1)＋3， 所以f′(1)＝. 答案　D 10．曲线y＝x sin x上点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为(　　) A． B．π2 C．2π2 D．(2＋π)2 解析　y′＝(x sin x)′＝x′sin x＋x(sin x)′＝sin x＋x cos x．当x＝－时， k＝sin ＋cos ＝－1. 所以在点处的切线方程为y－＝－，即y＝－x.所以y＝－x与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为. 答案　A 11．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________． 解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x， ∴f′＝－f′×＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f＝1. 答案　1 12．(2022·新高考全国卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________． 解析　易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a) )，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1) . 可得切线方程为y－(x0＋a) ＝(x0＋a＋1) ·(x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a) ＝－x0(x0＋a＋1) ，化简得x＋ax0－a＝0(※)，又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a>0，得a<－4，或a>0. 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 13．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x). (1)求f(1)＋f′(1)； (2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 解析　(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋， 所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. (2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x＞0时导函数f′(x)＝2ax＋存在零点， 即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0). [核心素养·探索创新] 14．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝__________． 解析　因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8. 因为数列{an}为等比数列， 所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8， ∴f′(0)＝84＝4 096. 答案　4 096 15．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝＝. 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． 所以即 所以a＝4，b＝1， 所以f(x)＝. (2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率 k＝f′(x0)＝＝4， 令t＝，t∈(0，1]， 则k＝4(2t2－t)＝8－， 所以k∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$