4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．数列1， ， ， ， ，… 的一个通项公式是(　　) A．an＝　　　 　 B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析　易知项的分母为2n－1(n∈N*)，分子为n(n∈N*)，故通项公式可以为an＝. 答案　B 2．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 解析　数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确． 答案　ABD 3．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析　an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列． 答案　A 4．(多选题)下列说法不正确的是(　　) A．数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，… B．数列3，0，3，0与数列3，3，0，0是相同的数列 C．数列的第k项为1＋ D．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n} 答案　ABD 5．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，__________，，…. 解析　由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3. 答案　3 6．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式是________． 答案　an＝2n＋1，n∈N* 7．已知数列{an}的通项公式为an＝2 025－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为________． 解析　由an＝2 025－3n>0，得n<＝675， 又因为n∈N*， 所以正整数n的最大值为674. 答案　674 8．写出数列1，，，，…的一个通项公式，并判断它的增减性． 解析　数列的一个通项公式an＝. 又∵an＋1－an＝－＝<0， ∴an＋1<an. ∴{an}是递减数列． [关键能力·综合提升] 9．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N* C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N* 解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 答案　C 10．若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列中的最大项是(　　) A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项 解析　an＝＝， 因为n＋≥2＝28， 当且仅当n＝14时，n＋有最小值28， 所以当n＝14时，取得最大值. 答案　C 11．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________． 解析　＝，1＝＝，＝，＝，可知：通项公式an是一个分数，分子为2n＋1，分母是n2＋1，∴这个数列的一个通项公式是an＝. 答案　 12．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝__________，＝________． 解析　根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵an＝3－2n， ∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝. 答案　3－4n　 13．写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)－3，0，3，6，…； (2)4，－4，4，－4，…； (3)1，0，1，0，…； (4)，，，，…. 解析　(1)数列可记为3×(－1)，3×0，3×1，3×2，…，所以数列的通项公式为an＝3(n－2)＝3n－6，n∈N*. (2)数列的各项符号间隔排列，可用(－1)n＋1进行调整，所以数列的通项公式为an＝(－1)n＋1×4，n∈N*. (3)数列的奇数项为1，偶数项为0，因此通项公式可用分段形式表示，记为an＝也可记为an＝，n∈N*. (4)这个数列的前4项分别为，，，，其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. [核心素养·探索创新] 14．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意，得点(n，an)分布在分段函数f(x)＝的图象上， 因此当3－a>0时，a1<a2<a3<…<a7； 当a>1时，a8<a9<a10<…； 为使数列{an}递增还需a7<a8. 故实数a满足条件 解得2<a<3， 故实数a的取值范围是(2，3). 答案　(2，3) 15．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题． (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 解析　(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)·(n－10)，所以当0<n<10时，an<0，所以数列{an}共有9项为负． (2)因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，故从第4项开始数列{an}递增． (3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，即数列中有最小值，最小值为－36. 学科网（北京）股份有限公司 $$