教考衔接3 函数的公切线(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

[对应学生用书P64] 一、真题展示 (2020·全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝和x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 二、真题溯源 [教材P104第13题] 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值． 三、类法探究 　导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 类型一　两曲线的公切线问题 　已知函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝bx－x3(a，b∈R).若b－a＝6，是否存在直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切？若存在，求出直线l的方程(若直线l的方程含参数，则用a表示)；若不存在，请说明理由． [解析]　设直线l与曲线y＝f(x)相切于点A(x1，y1)，与曲线y＝g(x)相切于点B(x2，y2)，f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝b－3x2， 曲线y＝f(x)在点A处的切线为y－(x＋ax1)＝(3x＋a)(x－x1)， 即y＝(3x＋a)x－2x. 曲线y＝g(x)在点B处的切线为y－(bx2－x)＝(b－3x)(x－x2)， 即y＝(b－3x)x＋2x， 则则 所以6x＝6，解得或 当时，直线l：y＝(3＋a)x－2； 当时，直线l：y＝(3＋a)x＋2. 故存在直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，直线l的方程为y＝(3＋a)x－2或y＝(3＋a)x＋2. 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 类型二　与公切线有关的求值问题 　若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－1和y＝ex－1的公切线，则实数k的值是(　　) A．e－1　　　 B．e C．0　　　 D．1 [解析]　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－1，y＝ex－1分别相切于点A(x1，－1)，B(x2，)， 对函数y＝ex－1求导得y′＝ex，则k＝， 曲线y＝ex－1在点A处的切线方程为y－＋1＝ex1(x－x1)，即y＝x＋(1－x1) －1. 对函数y＝ex－1求导得y′＝ex－1，则k＝， 曲线y＝ex－1在点B处的切线方程为y－＝ (x－x2)，即y＝x＋(1－x2) ， 化简可得故选D. [答案]　D 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． 类型三　判断公切线条数 　已知f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线条数为(　　) A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．3 [解析]　根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)， 对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋em(1－m)－1， 对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则k2＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)， 即y＝x＋ln n， 直线l是f(x)与g(x)的公切线， 则 解得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1或y＝x，切线有两条． 故选C. [答案]　C 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 类型四　求参数的取值或范围 　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． [解析]　令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)， 则＝2，得x0＝－， 则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln ＋a， 所以a＝ln 2. [答案]　ln 2 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数图象的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$