5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　函数的最大(小)值 [对应学生用书P70] 导学　函数的最大(小)值 下图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． [提示]　f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值． 　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值和最小值？若存在，分别为多少？ [提示]　存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3). 　函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ [提示]　不一定，也可能是区间端点的函数值． 　怎样确定函数f(x)在区间[a，b]上的最小值和最大值？ [提示]　比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值． ◎结论形成 1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是__一条连续不断__的曲线，那么它必有最大值与最小值． 2．函数最值的求法 求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的__极值__； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中__最大的一个__是最大值，__最小的一个__是最小值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值不一定是函数的极大值．(　　) (2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　　) (3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　　) (4)若函数f(x)有两个最值，则它们的和大于零．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝2x＋sin x在区间[0，π]上的(　　) A．最小值为0，最大值为π＋1 B．最小值为0，最大值为2π C．最小值为π＋1，最大值为2π D．最小值为0，最大值为2 解析　f′(x)＝2＋cos x>0，所以f(x)在区间[0，π]上单调递增，因此f(x)的最小值为f(0)＝0，最大值为f(π)＝2π. 答案　B 3．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1　　 B．－　 　 C．　　 D．1 解析　因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝a ln l＋b＝b＝－2，所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－，故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__________． 解析　令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2. 计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1， 所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32. 答案　32 [对应学生用书P71] 题型一　求函数的最值 　求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]. [解析]　(1)因为f(x)＝2x3－12x， 所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0， 解得x＝－或x＝. 因为f(－2)＝8，f(3)＝18， f()＝－8，f(－)＝8； 所以当x＝时，f(x)取得最小值－8； 当x＝3时，f(x)取得最大值18. (2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0， 又x∈[0，2π]， 解得x＝π或x＝π. 计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋， f＝π－. 所以当x＝0时，f(x)有最小值，f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值，f(2π)＝π. 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点． (2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，不需要判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值． [触类旁通] 1．求函数f(x)＝ln (1＋x)－x2在区间[0，2]上的最值． 解析　f′(x)＝－x， 令f′(x)＝0，即－x＝0， 得x＝－2或x＝1. 又∵x＋1＞0，即x＞－1，∴x＝－2舍去． ∵f(0)＝0，f(1)＝ln 2－，f(2)＝ln 3－1， ∴该函数在区间[0，2]上的最大值为ln 2－，最小值为0. 题型二　含参数的最值问题(一题多变) 　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值． [解析]　f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a>0时，f(x)在区间[0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a<0时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以f(x)min＝f＝a3. 综上所述，当a>0时，f(x)min＝－a3； 当a＝0时，f(x)min＝0； 当a<0时，f(x)min＝a3. [母题变式] 　(变条件、变结论)若a>0，求函数f(x)在区间[－a，2a]上的最值． 解析　f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)， 令f′(x)＝0，得x1＝－<x2＝a. 所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间[a，2a]上单调递增． 所以f(－a)＝－a3，f＝a3， f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3. 所以f(x)max＝f(2a)＝2a3. f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3. 1．求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 2．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． [触类旁通] 2．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值． 解析　f′(x)＝3x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. ①当≤0，即a≤0时，f(x)在区间[0，2]上单调递增， 从而f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②当≥2，即a≥3时，f(x)在区间[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0. ③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ 题型三　与最值有关的恒成立问题 　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0). (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围． [解析]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， ∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1.即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m， 由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去). 当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表： t (0，1) 1 (1，2) g′(t) ＋ 0 － g(t) 单调递增 1－m 单调递减 ∴g(t)在区间(0，2)内有最大值，g(1)＝1－m. h(t)<－2t＋m在区间(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在区间(0，2)内恒成立， 即等价于1－m<0. ∴m的取值范围为(1，＋∞). [素养聚焦] 通过求解与最值有关的恒成立问题，把数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 不等式恒成立问题的转化技巧 (1)a≥f(x)[或a≤f(x)]恒成立⇔a≥f(x)max[或a≤f(x)min]； (2)a≥f(x)[或a≤f(x)]恒有解⇔a≥f(x)min[或a≤f(x)max]； (3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0[其中F(x)＝f(x)－g(x)]； (4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0[其中F(x)＝f(x)－g(x)]. [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝2sin x－x cos x－x，f′(x)为f(x)的导数． (1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围． (1)证明　设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋x sin x－1，g′(x)＝x cos x. 当x∈时，g′(x)>0； 当x∈时，g′(x)<0， 所以g(x)在区间单调递增，在区间单调递减． 又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，故g(x)在区间(0，π)存在唯一零点． 所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点． (2)解析　由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0， 可得a≤0. 由(1)知，f′(x)在区间(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0； 当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，x0)单调递增，在区间(x0，π)单调递减． 又f(0)＝0，f(π)＝0， 所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0. 又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax. 因此a的取值范围是(－∞，0]. 知识落实 技法强化 (1)函数最值的定义． (2)求函数最值． (3)函数最值的应用． (1)求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值． (2)已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$